单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $a \int_0^{x^2} \cos t^2 d t$ 与 $\sin x-b \ln (1+x)$ 是等价无穷小, 则 $(a, b)=$
$\text{A.}$ $(1,2)$.
$\text{B.}$ $(-1,2)$.
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
$\text{D.}$ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$.
设 $f(x)=\int_0^{|\sin x|} e ^{t^2} d t, g(x)=\int_0^{|x|} \sin t^2 d t$, 则在 $(-\pi, \pi)$ 内,
$\text{A.}$ $f(x)$ 是可导的奇函数.
$\text{B.}$ $g(x)$ 是可导的偶函数。
$\text{C.}$ $f(x)$ 是奇函数且 $f^{\prime}(0)$ 不存在。
$\text{D.}$ $g(x)$ 是偶函数且 $g^{\prime}(0)$ 不存在.
设 $b>0>a$, 则
$\text{A.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right)>b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{B.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right) < b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{C.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right)>a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{D.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right) < a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
设 $z=z(x, y)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=u e ^v, \\ y=u v,(u>0, v>1) \\ z=v\end{array}\right.$ 所确定, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $\frac{x y}{z(1-z)^3}$.
$\text{B.}$ $\frac{x y}{z(z-1)^3}$.
$\text{C.}$ $\frac{z}{x y(1-z)^3}$.
$\text{D.}$ $\frac{z}{x y(z-1)^3}$.
设 $a>1, I_1=\int_0^a e ^{-x^2} d x, I_2=\int_0^1 a e ^{-x^2} d x, I_3=\int_0^1 e ^{-(a x)^2} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_3>I_2$.
$\text{B.}$ $I_1>I_2>I_3$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
设 $f(t)=\int_t^{2 t} d x \int_x^t e ^{(x-y+1)^2} d y$, 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)}{t^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{ e }{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{ e }{2}$.
$\text{C.}$ 2 e .
$\text{D.}$ -2 e .
设 2 阶矩阵 $A$ 的特征值均为实数, 则
$\text{A.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{3}\right]^2 \geqslant| A |$.
$\text{B.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{3}\right]^2 \leqslant| A |$.
$\text{C.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{2}\right]^2 \geqslant| A |$.
$\text{D.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{2}\right]^2 \leqslant| A |$.
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵, $b$ 是 $n$ 维列向量且与 $A ^{ T } x = 0$ 的解均正交, 则
$\text{A.}$ $A ^{ T } x = 0$ 的解与 $A$ 的行向量正交.
$\text{B.}$ $A x = 0$ 的解与 $A$ 的列向量正交.
$\text{C.}$ $A ^{ T } x = b$ 有解.
$\text{D.}$ $A x = b$ 有解.
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵, 则 " $| A | < 0$ " 是"存在 $n$ 维非零列向量 $\alpha$, 使得 $\alpha ^{ T } A \alpha < 0$ " 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件.
$\text{B.}$ 必要非充分条件.
$\text{C.}$ 充要条件.
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设圆与曲线 $x=y^2$ 在 $(0,0)$ 处有公切线且它们关于 $y$ 的二阶导数值相同, 则该圆的方程为
$\int \frac{\sqrt{3+2 x-x^2}}{(x-1)^2} d x=$
设 $x=t^3+2 t+1, \int_0^{y+t} e ^{-u^2} d u=t$, 则 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=0}=$
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y= e ^{-x}, y(0)=y^{\prime}(0)=1$, 则 $\int_0^{+\infty} x d y=$
曲线 $x^{\frac{2}{3}}+(a y)^{\frac{2}{3}}=1(a \in R )$ 的全长为 $\frac{14}{3}$, 则 $a=$
设 $A =\left(\begin{array}{lll}
a & & \\
& b & \\
& & a
\end{array}\right), P =\left(\begin{array}{lll}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)$, 计算 $P ^2 A P ^{-1}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $y=x^2\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{ e }-1\right](x>0)$ 的斜渐近线.
设某光滑曲线的方程为 $f(x, y)=0(x>0,0 < y \leqslant a)$. 若该曲线在某点的切线与坐标轴及过切点平行于 $x$ 轴的直线所围成梯形的面积恒为 $a^2$, 且 $f(a, a)=0$. 求:
(1) 该曲线方程;
(2) 曲线上横坐标的最小值.
设 $f(x, y)$ 是可微函数, $f(0, y)$ 在 $y=0$ 处的切线方程为 $y=z$, 当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^x d u \int_0^{u^2} f(t, u) d t$与 $a x^b$ 为等价无穷小量, 求 $a, b$ 的值.
设 $f(x)$ 具有一阶连续导数,
$$
\iint_D f(x y) d \sigma=\int_0^x\left[f^{\prime}(t)-x t f\left(x^2-t^2\right)\right] d t, f(0)=a,
$$
其中 $D$ 是 $y=|x|^3$ 与 $y=1$ 围成的有界闭区域, 求 $\iint_D f(x y) d \sigma$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数, $f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0,0 \leqslant f(x) \leqslant 1$. 记曲线 $y=$ $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的长度为 $a$, 证明:
(1) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得对任意 $x \in(0, \xi)$, 有 $f^{\prime}(x)>0$;
(2) $a < 3$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2-4 x_1 x_2+4 x_2^2, g\left(x_1, x_2\right)$ 的二次型矩阵为 $B =\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$.
（1）是否存在可逆矩阵 $D$, 使 $B = D ^{ T } D$ ? 若存在, 求出矩阵 $D$, 若不存在, 请说明理由;
(2) 求 $\max _{ x \neq 0} \frac{f( x )}{g( x )}$, 其中 $x =\binom{x_1}{x_2}$.