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设 $f(x)$ 具有一阶连续导数,

$$
\iint_D f(x y) d \sigma=\int_0^x\left[f^{\prime}(t)-x t f\left(x^2-t^2\right)\right] d t, f(0)=a,
$$


其中 $D$ 是 $y=|x|^3$ 与 $y=1$ 围成的有界闭区域, 求 $\iint_D f(x y) d \sigma$.
                        
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