单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\int_0^{|\sin x|} e ^{t^2} d t, g(x)=\int_0^{|x|} \sin t^2 d t$, 则在 $(-\pi, \pi)$ 内,
$\text{A.}$ $f(x)$ 是可导的奇函数.
$\text{B.}$ $g(x)$ 是可导的偶函数。
$\text{C.}$ $f(x)$ 是奇函数且 $f^{\prime}(0)$ 不存在。
$\text{D.}$ $g(x)$ 是偶函数且 $g^{\prime}(0)$ 不存在.
设 $b>0>a$ ，则
$\text{A.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right)>b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{B.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right) < b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{C.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right)>a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{D.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right) < a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
设 $\Gamma$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线, 则 $\oint_{\Gamma} x(1+y) d s=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6} a^3$.
$\text{B.}$ $-\frac{\pi}{6} a^3$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3} a^3$.
$\text{D.}$ $-\frac{\pi}{3} a^3$.
设 $z=z(x, y)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=u e ^v, \\ y=u v,(u>0, v>1) \\ z=v\end{array}\right.$ 所确定, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $\frac{x y}{z(1-z)^3}$.
$\text{B.}$ $\frac{x y}{z(z-1)^3}$.
$\text{C.}$ $\frac{z}{x y(1-z)^3}$.
$\text{D.}$ $\frac{z}{x y(z-1)^3}$.
设 2 阶矩阵 $A$ 的特征值均为实数, 则
$\text{A.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{3}\right]^2 \geqslant| A |$.
$\text{B.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{3}\right]^2 \leqslant| A |$.
$\text{C.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{2}\right]^2 \geqslant| A |$.
$\text{D.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{2}\right]^2 \leqslant| A |$.
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵, $b$ 是 $n$ 维列向量且与 $A ^{ T } x = 0$ 的解均正交, 则
$\text{A.}$ $A ^{ T } x = 0$ 的解与 $A$ 的行向量正交。
$\text{B.}$ $A x = 0$ 的解与 $A$ 的列向量正交.
$\text{C.}$ $A ^{ T } x = b$ 有解.
$\text{D.}$ $A x = b$ 有解.
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵,则" $| A | < 0$ " 是"存在 $n$ 维非零列向量 $\alpha$,使得 $\alpha ^{ T } A \alpha < 0$ " 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件。
$\text{B.}$ 必要非充分条件。
$\text{C.}$ 充要条件.
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布, 且都服从参数为 1 的指数分布. 若
$$
Z= \begin{cases}2 X, & X \geqslant Y \\ Y-1, & X < Y\end{cases}
$$
则 $E(Z)=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{7}$.
$\text{B.}$ $\frac{7}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{7}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{7}$.
设连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布, 且其分布函数 $F(x)$ 为严格单调增加函数, 若 $E(X)$ 存在，且 $E(|X-Y|)=1$ ，则 $X$ 与 $F(X)$ 的协方差为
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 1.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自均匀分布总体 $U(0, \theta)(\theta>0)$ 的简单随机样本, 原假设 $H_0: \theta \geqslant 2$, 备择假设 $H_1: \theta < 2$ ，拒绝域为 $W=\left\{X_{(n)} \leqslant a\right\}$ ，其中 $a>0, X_{(n)}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ ，若犯第一类错误的概率的最大值为 $\frac{1}{3^n}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设圆与曲线 $x=y^2$ 在 $(0,0)$ 处有公切线且它们关于 $y$ 的二阶导数值相同, 则该圆的方程为
设 $x=t^3+2 t+1, \int_0^{y+t} e ^{-u^2} d u=t$, 则 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=0}=$
设函数 $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x^2(x+1)}$ 的幂级数展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-1)^n, x \in(0,2)$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^n a_n}{\sqrt{n^2+1}}=$
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y= e ^{-x}, y(0)=y^{\prime}(0)=1$, 则 $\int_0^{+\infty} x d y=$
设 $x \neq 0$, 则 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 1 & 1+2 x & 2 x & 0 \\ 0 & 2 & 2+3 x & 3 x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4 x\end{array}\right|=$
甲口袋有 1 只黑球, 2 只白球, 乙口袋有 3 只白球,每次从两口袋中各任取一球, 交换后放另一口袋，则交换 3 次后，黑球仍在甲口袋中的概率为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $y=x^2\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{ e }-1\right](x>0)$ 的斜渐近线.
设曲面$\Sigma$由曲线 $ x=\cos z, y=0,-\frac{\pi}{2} \leqslant z \leqslant \frac{\pi}{2}$ 绕$z$轴旋转一周形成, 计算 $\iint_{\Sigma} \sqrt{1-x^2-y^2} d S$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数, $f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0,0 \leqslant f(x) \leqslant 1$. 证明:
（1）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得对任意 $x \in(0, \xi)$ ，有 $f^{\prime}(x)>0$ ；
(2) $\int_0^1 \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^2} d x < 3$.
设 $P=2 x z f(y+z)-y^3, Q=2 y z f(y+z)+x^3, R=\int_0^{x^2+y^2} f(z-t) d t$ ，其中 $f$ 具有一阶连续导数。且 $L$ 为曲面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $y+z=1$ 的交线, 从 $z$ 轴正向往下看为逆时针方向, 计算
$$
\oint_L P d x+Q d y+R d z .
$$
设二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2-4 x_1 x_2+4 x_2^2, g\left(x_1, x_2\right)$ 的二次型矩阵为 $B =\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$.
（1）是否存在可逆矩阵 $D$, 使 $B = D ^{ T } D$ ? 若存在, 求出矩阵 $D$, 若不存在, 说明理由;
（2）求 $\max _{ x \neq 0 } \frac{f( x )}{g( x )}$, 其中 $x =\binom{x_1}{x_2}$.
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布, 且 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)= e ^{-x} e ^{- e ^{-x}}, x \in R . Z$ 的概率密度为 $f_Z(z)=\frac{ e ^z}{\left(1+ e ^z\right)^2}, z \in R$.
(1) 求 $e ^Z$ 的数学期望;
(2) $Z$ 与 $X-Y$ 是否同分布?说明理由.