来自B站《万人同模百校联考》张宇2025年考研数学命题人终极预测8套卷第二套卷（数一）

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一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x) = \int_{0}^{| \sin x |} e^{t^{2}} d t, g (x) = \int_{0}^{| x |} \sin t^{2} d t

, 则在

(- π, π)

内,

A.

f (x)

是可导的奇函数.

B.

g (x)

是可导的偶函数。

C.

f (x)

是奇函数且

f^{'} (0)

不存在。

D.

g (x)

是偶函数且

g^{'} (0)

不存在.

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2. 设

b > 0 > a

，则

A.

a e^{a} (e^{b} - 1) > b e^{b} (e^{a} - 1)

B.

a e^{a} (e^{b} - 1) < b e^{b} (e^{a} - 1)

C.

b e^{a} (e^{b} - 1) > a e^{b} (e^{a} - 1)

D.

b e^{a} (e^{b} - 1) < a e^{b} (e^{a} - 1)

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3. 设

Γ

为曲面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (a > 0)

与平面

x + y + z = 0

的交线, 则

\oint_{Γ} x (1 + y) d s =

A.

\frac{π}{6} a^{3}

B.

- \frac{π}{6} a^{3}

C.

\frac{π}{3} a^{3}

D.

- \frac{π}{3} a^{3}

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4. 设

z = z (x, y)

由

{\begin{cases} x = u e^{v}, \\ y = u v, (u > 0, v > 1) \\ z = v \end{cases}

所确定, 则

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} =

A.

\frac{x y}{z (1 - z)^{3}}

B.

\frac{x y}{z (z - 1)^{3}}

C.

\frac{z}{x y (1 - z)^{3}}

D.

\frac{z}{x y (z - 1)^{3}}

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5. 设 2 阶矩阵

A

的特征值均为实数, 则

A.

{[\frac{tr (A)}{3}]}^{2} ⩾ | A |

B.

{[\frac{tr (A)}{3}]}^{2} ⩽ | A |

C.

{[\frac{tr (A)}{2}]}^{2} ⩾ | A |

D.

{[\frac{tr (A)}{2}]}^{2} ⩽ | A |

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6. 设

A

是

n

阶矩阵,

b

是

n

维列向量且与

A^{T} x = 0

的解均正交, 则

A.

A^{T} x = 0

的解与

A

的行向量正交。

B.

A x = 0

的解与

A

的列向量正交.

C.

A^{T} x = b

有解.

D.

A x = b

有解.

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7. 设

A

为

n

阶实对称矩阵,则"

| A | < 0

" 是"存在

n

维非零列向量

α

,使得

α^{T} A α < 0

" 的

A.

充分非必要条件。

B.

必要非充分条件。

C.

充要条件.

D.

既非充分又非必要条件.

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8. 设随机变量

X

与

Y

独立同分布, 且都服从参数为 1 的指数分布. 若

Z = {\begin{cases} 2 X, & X ⩾ Y \\ Y - 1, & X < Y \end{cases}

则

E (Z) =

A.

\frac{2}{7}

B.

\frac{7}{2}

C.

\frac{7}{4}

D.

\frac{4}{7}

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9. 设连续型随机变量

X

与

Y

独立同分布, 且其分布函数

F (x)

为严格单调增加函数, 若

E (X)

存在，且

E (| X - Y |) = 1

，则

X

与

F (X)

的协方差为

A.

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

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10. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自均匀分布总体

U (0, θ) (θ > 0)

的简单随机样本, 原假设

H_{0} : θ ⩾ 2

, 备择假设

H_{1} : θ < 2

，拒绝域为

W = {X_{(n)} ⩽ a}

，其中

a > 0, X_{(n)} = max {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}

，若犯第一类错误的概率的最大值为

\frac{1}{3^{n}}

, 则

a =

A.

\frac{4}{3}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{3}{4}

D.

\frac{3}{2}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设圆与曲线

x = y^{2}

在

(0, 0)

处有公切线且它们关于

y

的二阶导数值相同, 则该圆的方程为

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12. 设

x = t^{3} + 2 t + 1, \int_{0}^{y + t} e^{- u^{2}} d u = t

, 则

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{t = 0} =

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13. 设函数

f (x) = \frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} (x + 1)}

的幂级数展开式为

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - 1)^{n}, x \in (0, 2)

, 则

lim_{n \to \infty} \frac{(- 1)^{n} a_{n}}{\sqrt{n^{2} + 1}} =

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14. 设

y = y (x)

满足

y^{''} + 2 y^{'} + y = e^{- x}, y (0) = y^{'} (0) = 1

, 则

\int_{0}^{+ \infty} x d y =

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15. 设

x \neq 0

, 则

D_{4} = | \begin{array}{cccc} x & x & 0 & 0 \\ 1 & 1 + 2 x & 2 x & 0 \\ 0 & 2 & 2 + 3 x & 3 x \\ 0 & 0 & 3 & 3 + 4 x \end{array} | =

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16. 甲口袋有 1 只黑球, 2 只白球, 乙口袋有 3 只白球,每次从两口袋中各任取一球, 交换后放另一口袋，则交换 3 次后，黑球仍在甲口袋中的概率为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 求曲线

y = x^{2} [\frac{{(1 + \frac{1}{x})}^{x}}{e} - 1] (x > 0)

的斜渐近线.

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18. 设曲面

Σ

由曲线

x = \cos z, y = 0, - \frac{π}{2} ⩽ z ⩽ \frac{π}{2}

绕

z

轴旋转一周形成, 计算

\iint_{Σ} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} d S

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19. 设

f (x)

在

[0, 1]

上具有二阶导数,

f (0) = f (1) = 0, f^{''} (x) < 0, 0 ⩽ f (x) ⩽ 1

. 证明:
（1）存在

ξ \in (0, 1)

，使得对任意

x \in (0, ξ)

，有

f^{'} (x) > 0

；
(2)

\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x < 3

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20. 设

P = 2 x z f (y + z) - y^{3}, Q = 2 y z f (y + z) + x^{3}, R = \int_{0}^{x^{2} + y^{2}} f (z - t) d t

，其中

f

具有一阶连续导数。且

L

为曲面

z = x^{2} + y^{2}

与平面

y + z = 1

的交线, 从

z

轴正向往下看为逆时针方向, 计算

\oint_{L} P d x + Q d y + R d z .

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21. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{2}^{2}, g (x_{1}, x_{2})

的二次型矩阵为

B = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array})

.
（1）是否存在可逆矩阵

D

, 使

B = D^{T} D

? 若存在, 求出矩阵

D

, 若不存在, 说明理由;
（2）求

max_{x \neq 0} \frac{f (x)}{g (x)}

, 其中

x = (\binom{x_{1}}{x_{2}})

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22. 设随机变量

X, Y

独立同分布, 且

X

的概率密度为

f_{X} (x) = e^{- x} e^{- e^{- x}}, x \in R . Z

的概率密度为

f_{Z} (z) = \frac{e^{z}}{{(1 + e^{z})}^{2}}, z \in R

.
(1) 求

e^{Z}

的数学期望;
(2)

Z

与

X - Y

是否同分布?说明理由.

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