单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
微分方程 $\frac{ d y}{d x}=\frac{1}{x-y^2}$ 满足条件 $y(2)=0$ 的特解是
$\text{A.}$ $x= e ^y+y^2+2 y+2$.
$\text{B.}$ $x= e ^y+y^2+2 y$.
$\text{C.}$ $x=y^2+2 y+2$.
$\text{D.}$ $x= e ^y+1$.
设 $C_1, C_2$ 是两个任意常数，则函数 $y=C_1 e ^{2 x}+C_2 e ^{-x}-2 x e ^{-x}$ ， 满足的一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 e ^{-x}$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=6 e ^{-x}$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e ^{-x}$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e^{-x} .$
已知函数 $y=f(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha$ ，且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量,$y(0)=\pi$ ，则 $y(1)$ 等于
$\text{A.}$ $2 \pi$.
$\text{B.}$ $\pi$.
$\text{C.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$.
$\text{D.}$ $\pi e ^{\frac{\pi}{4}}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上连续可导,且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{1}{3}$. 当 $x>0$ 时, 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 y 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) d t$ ，则 $f(x)$ 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \ln x+3, x>0$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} \ln x+1, x>0$
$\text{C.}$ $3 \ln x+1, x>0$
$\text{D.}$ $3 \ln x+3, x>0$
微分方程 $y^{\prime \prime}-\lambda^2 y= e ^{\lambda x}+ e ^{-\lambda x}(\lambda>0)$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a\left( e ^{\lambda x}+ e ^{-\lambda x}\right)$.
$\text{B.}$ $a x\left( e ^{\lambda x}+ e ^{-\lambda x}\right)$.
$\text{C.}$ $x\left(a e ^{\lambda x}+b e ^{-\lambda x}\right)$.
$\text{D.}$ $x^2\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
在下列微分方程中，以 $y=C_1 e ^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x, \quad\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数 $)$ 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0 \text {. }$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $x \int_0^1 f(t x) d t+2 \int_0^x f(t) d t=x f(x)+x^3$ ，则可得
$\text{A.}$ $f(x)=C x^2-3 x^2 \ln (1+x)\left(x_{\in}[0,+\infty)\right),(C$ 为任意常数).
$\text{B.}$ $ f(x)=x^2-3 x^2 \ln (1+x)\left(x_{\in}[0,+\infty)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l}C x^2-3 x^2 \ln x, x>0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$,( $C$ 为任意常数).
$\text{D.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x^2-3 x^2 \ln x, x>0 \\
0, x=0
\end{array}\right.$
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=\cos ^2 x$ 的特解形式，其中 $a, b, c$ 为某些常数
$\text{A.}$ $a \cos ^2 x$.
$\text{B.}$ $a \sin ^2 x$.
$\text{C.}$ $x(a+b \cos 2 x+c \sin 2 x)$.
$\text{D.}$ $a+x(b \cos 2 x+c \sin 2 x) .$
已知 $y_1=x^2 e ^x, y_2= e ^{2 x}(3 \cos 3 x-2 \sin 3 x)$ 是某 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，则最小的 $n$ 为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
设曲线 $y=y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}-y= e ^x+4 \cos x$ 的解,且其在点 $(0,1)$ 处与抛物线 $y=x^2-x+1$相切，则 $y=$
$\text{A.}$ $\frac{9}{4} e ^x-\frac{3}{4} e ^{-x}+\frac{1}{2} x^2 e ^x+2 \sin x$.
$\text{B.}$ $\frac{9}{4} e ^x+\frac{3}{4} e ^{-x}+\frac{1}{2} x e ^x-2 \cos x$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{4} e^x-\frac{9}{4} e^{-x}+\frac{1}{2} x^2 e^x+2 \sin x$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4} e^x+\frac{9}{4} e^{-x}+\frac{1}{2} x e^x-2 \cos x$