高等数学小题训练(微分方程)同步训练

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高等数学小题训练(微分方程)同步训练

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x - y^{2}}

满足条件

y (2) = 0

的特解是

A.

x = e^{y} + y^{2} + 2 y + 2

B.

x = e^{y} + y^{2} + 2 y

C.

x = y^{2} + 2 y + 2

D.

x = e^{y} + 1

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2. 设

C_{1}, C_{2}

是两个任意常数，则函数

y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}

，满足的一个微分方程是

A.

y^{''} + y^{'} - 2 y = 6 e^{- x}

B.

y^{''} - y^{'} - 2 y = 6 e^{- x}

C.

y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 x e^{- x}

D.

y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 x e^{- x} .

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3. 已知函数

y = f (x)

在任意点

x

处的增量

Δ y = \frac{y Δ x}{1 + x^{2}} + α

，且当

Δ x \to 0

时，

α

是

Δ x

的高阶无穷小量,

y (0) = π

，则

y (1)

等于

A.

2 π

B.

π

C.

e^{\frac{π}{4}}

D.

π e^{\frac{π}{4}}

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4. 设函数

f (x)

在区间

(0, + \infty)

上连续可导,且

lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 1}{x - 1} = \frac{1}{3}

. 当

x > 0

时, 曲线

y = f (x)

上点

(x, f (x))

处的切线在 y 轴上的截距等于

\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t

，则

f (x)

为

A.

\frac{1}{3} \ln x + 3, x > 0

B.

\frac{1}{3} \ln x + 1, x > 0

C.

3 \ln x + 1, x > 0

D.

3 \ln x + 3, x > 0

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5. 微分方程

y^{''} - λ^{2} y = e^{λ x} + e^{- λ x} (λ > 0)

的特解形式为

A.

a (e^{λ x} + e^{- λ x})

B.

a x (e^{λ x} + e^{- λ x})

C.

x (a e^{λ x} + b e^{- λ x})

D.

x^{2} (a e^{λ x} + b e^{- λ x})

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6. 在下列微分方程中，以

y = C_{1} e^{x} + C_{2} \cos 2 x + C_{3} \sin 2 x, (C_{1}, C_{2}, C_{3}

为任意常数

)

为通解的是

A.

y^{'''} + y^{''} - 4 y^{'} - 4 y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

C.

y^{'''} - y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0

D.

y^{'''} - y^{''} + 4 y^{'} - 4 y = 0 .

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7. 设

f (x)

在

[0, + \infty)

上连续，在

(0, + \infty)

内有连续导数且

x \int_{0}^{1} f (t x) d t + 2 \int_{0}^{x} f (t) d t = x f (x) + x^{3}

，则可得

A.

f (x) = C x^{2} - 3 x^{2} \ln (1 + x) (x_{\in} [0, + \infty)), (C

为任意常数).

B.

f (x) = x^{2} - 3 x^{2} \ln (1 + x) (x_{\in} [0, + \infty))

C.

f (x) = {\begin{cases} C x^{2} - 3 x^{2} \ln x, x > 0 \\ 0, x = 0 \end{cases}

C

为任意常数).

D.

f (x) = {\begin{cases} x^{2} - 3 x^{2} \ln x, x > 0 \\ 0, x = 0 \end{cases}

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8. 微分方程

y^{''} + 4 y = \cos^{2} x

的特解形式，其中

a, b, c

为某些常数

A.

a \cos^{2} x

B.

a \sin^{2} x

C.

x (a + b \cos 2 x + c \sin 2 x)

D.

a + x (b \cos 2 x + c \sin 2 x) .

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9. 已知

y_{1} = x^{2} e^{x}, y_{2} = e^{2 x} (3 \cos 3 x - 2 \sin 3 x)

是某

n

阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，则最小的

n

为

A.

B.

C.

D.

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10. 设曲线

y = y (x)

是方程

y^{''} - y = e^{x} + 4 \cos x

的解,且其在点

(0, 1)

处与抛物线

y = x^{2} - x + 1

相切，则

y =

A.

\frac{9}{4} e^{x} - \frac{3}{4} e^{- x} + \frac{1}{2} x^{2} e^{x} + 2 \sin x

B.

\frac{9}{4} e^{x} + \frac{3}{4} e^{- x} + \frac{1}{2} x e^{x} - 2 \cos x

C.

\frac{3}{4} e^{x} - \frac{9}{4} e^{- x} + \frac{1}{2} x^{2} e^{x} + 2 \sin x

D.

\frac{3}{4} e^{x} + \frac{9}{4} e^{- x} + \frac{1}{2} x e^{x} - 2 \cos x

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