设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上连续可导,且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{1}{3}$. 当 $x>0$ 时, 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 y 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) d t$ ，则 $f(x)$ 为
A. $\frac{1}{3} \ln x+3, x>0$
B. $\frac{1}{3} \ln x+1, x>0$
C. $3 \ln x+1, x>0$
D. $3 \ln x+3, x>0$