单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, 且 $a_6=0, a_1+a_4+a_7=6$, 将 $a_2, a_3, a_4, a_5$ 去掉一项后, 剩下三项依次为等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前三项，则 $b_n=(\quad)$
$\text{A.}$ $2^{2-n}$
$\text{B.}$ $2^{n+2}$
$\text{C.}$ $2^{3-n}$
$\text{D.}$ $2^{n+3}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_{n+1}+(-1)^n a_n=3 n-1\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$. 则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 60 项的和为 ( )
$\text{A.}$ 1240
$\text{B.}$ 1830
$\text{C.}$ 2520
$\text{D.}$ 2760
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=1, a_2=2$ 且 $a_{n+2}-a_n=1-(-1)^n\left(n \in \mathrm{~N}^*\right), S_{100}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1300
$\text{C.}$ 2600
$\text{D.}$ 2650
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n^2+n}$, 则 $\left\{a_n\right\}$ 的通项为（）
$\text{A.}$ $-\frac{1}{n}, n \geq 1, n \in \mathrm{~N}^*$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}+\frac{1}{n}, n \geq 1, n \in \mathrm{~N}^*$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2}-\frac{1}{n}, n \geq 1, n \in \mathrm{~N}^*$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}-\frac{1}{n}, n \geq 1, n \in \mathrm{~N}^*$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_n=a_{n+1}+n-2, n \in N^*, a_1=2$, 则 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 ( )
$\text{A.}$ $a_n=2^{n-1}-1$
$\text{B.}$ $a_n=2^{n-1}$
$\text{C.}$ $a_n=2^{n-1}+1$
$\text{D.}$ $a_n=2^n$
"太极生两仪, 两仪生四象, 四象生八卦……" 大衍数列, 来源于《乾坤谱》中对《易传》"大衍之数五十"的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题. 大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中, 曾经经历过的两仪数量总和, 从第一项起依次为 $0,2,4,8,12,18,24,32,40,50, \cdots \cdots$. 记大衍数列为 $\left\{a_n\right\}$, 其前 $n$ 项和为 $S_n, n \in \mathbf{N}^*$, 则下列选项错误的是 ( )
c. $S_{23}=2156$
$\text{A.}$ $a_{20}=220$
$\text{B.}$ $\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\frac{1}{a_7}+\mathrm{L}+\frac{1}{a_{2021}}=\frac{505}{1011}$
$\text{C.}$ $a_2+a_4+a_6+\mathrm{L}+a_{48}=9800$
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，其前 $n$ 的和是 $S_n$, 下面不正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $a_{n+1}-a_n=2, a_1=1$, 则 $S_n=n^2$
$\text{B.}$ 若 $a_n=n \times 2^n$, 则 $S_n=(n-1) \times 2^{n+1}+2$
$\text{C.}$ 若 $a_n=1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{n-1}$, 则 $S_n=2^{n+1}-n-2$
$\text{D.}$ 若 $a_1=\frac{1}{2}$, 且 $S_n=n^2 a_n$, 则 $S_n=\frac{2 n}{3 n+1}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $2 S_n=n^2+n$, 记数列 $\left\{\frac{a_n}{2^n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$. 若对于任意的 $n \in N^*$,不等式 $n\left|T_{n+1}-2\right|-t \leq \frac{7 n}{2^{n+1}}$ 恒成立，则实数 $t$ 的最小值为（）
$\text{A.}$ $\frac{5}{64}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{32}$
$\text{C.}$ $\frac{21}{256}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, 其前 $n$ 的和是 $S_n$, 下面正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $S_n=2 n^2-3 n+4$, 则其通项公式 $a_n=4 n-5$
$\text{B.}$ 若 $a_1=2, a_{n+1}=a_n+n+1$, 则其通项公式 $a_n=\frac{1}{2}\left(n^2+n+2\right)$
$\text{C.}$ 若 $a_1=2, n a_{n+1}=(n+1) a_n$, 则其通项公式 $a_n=2 n$
$\text{D.}$ 若 $a_2=1,2 S_n=n a_n$, 则其通项公式 $a_n=n-1$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=2,(n-2) S_{n+1}+2 a_{n+1}=n S_n, n \in \mathbf{N}^*$, 下列说法正确的是 ( )
$\text{A.}$ $a_2=4$
$\text{B.}$ $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 为常数列
$\text{C.}$ $a_7=15$
$\text{D.}$ $S_n=n^2+n$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=8, a_2=1, a_{n+2}=\left\{\begin{array}{l}-a_n, n \text { 为偶数 } \\ a_n-2, n \text { 为奇数 }\end{array} T_n\right.$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，则下列说法正确的有（）
$\text{A.}$ $a_{11}=-2$
$\text{B.}$ $T_{2 n}=-n^2+9 n+1$
$\text{C.}$ $T_{99}=-2049$
$\text{D.}$ $T_n$ 的最大值为 21
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2$, 且 $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$, 则 ( )
$\text{A.}$ $\left\{a_n\right\}$ 为递增数列
$\text{B.}$ $a_n \geq n+1$
$\text{C.}$ $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\mathrm{L}+\frac{1}{a_{99}} < 1$
$\text{D.}$ $a_1+a_2+\mathrm{L}+a_{99} \leq 4 \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{99}-4$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=0, a_{n+1}=a_n+\log _2\left(1+\frac{2}{2 n-1}\right)$, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一个通项公式为
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, 已知 $a_n=2^n-1$, 且 $b_n=\frac{2^n}{a_n a_{n+1}}-2 n+1$, 则数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=-2, a_{n+1}=a_n+n \cdot 2^n$, 则 $\log _2 a_{1026}=$
已知 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和， $a_1=1, a_n-a_{n+1}=(n+1) a_n \cdot a_{n+1}, S_n < k$ 恒成立, 则 $k$ 最小为