【34539】 【 Lp空间】 证明题 设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的正值 Lebesgue 可测函数．证明： $$ \left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b \frac{\mathrm{~d} x}{f(x)}\right) \geqslant 1 . $$

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【34538】 【 Lp空间】 证明题 设 $1 \leqslant p<r<p^{\prime}, f \in \mathscr{L}^p(E) \cap \mathscr{L}^{p^{\prime}}(E)$ ．证明：$f \in \mathscr{L}^r(E)$ ．

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【34537】 【 重积分、累次积分与Fubini定理】 证明题 （Lebesgue 分解定理）设 $f$ 为 $[a, b]$ 上的有界变差函数．证明：$f$ 可分解为 $$ f=f_c+f_s+\varphi, $$ 其中 $\varphi$ 为 $f$ 在 $[a, b]$ 上的跳跃函数，$f_c$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数，$f_s$ 为奇异的有界变差函数（当然，$f_c, f_s, \varphi$ 三个函数可以在上述分解中不全出现）。在相差一个常数意义下，三个函数均由 $f$ 惟一决定。

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【34536】 【 重积分、累次积分与Fubini定理】 证明题 设 $f$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数．证明：$\bigvee_a^x(f), p(x), n(x)$ 都为绝对连续函数．

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【34535】 【 重积分、累次积分与Fubini定理】 证明题 设 $f:[a, b] \rightarrow[f(a), f(b)]$ 为绝对连续的严格增函数，$g(y)$ 为 $[f(a), f(b)]$ 上的绝对连续函数．证明：$g \circ f(x)=g(f(x))$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数．

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【34534】 【 重积分、累次积分与Fubini定理】 证明题 设 $A, B$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的 Lebesgue 可测集．证明： $$ (\mathrm{L}) \int_{\mathrm{R}^n} m((A-x) \cap B) \mathrm{d} x=m(A) \cdot m(B) \text {, } $$ 其中 $A-\boldsymbol{x}^{\prime}=\{a-\boldsymbol{x} \mid a \in A\}$ 为 $A$ 平移－ $\boldsymbol{x}$ 得到的集合．

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【34533】 【 重积分、累次积分与Fubini定理】 证明题 设 $f(x), g(x)$ 为 $E \subset \mathbb{R}^1$ 上非负 Lebesgue 可测函数，$f g \in \mathscr{L}(E)$ ．令 $$ E_y=\{x \in E \mid g(x) \geqslant y\} . $$ 证明：对 $\forall y>0$ ， $$ F(y)=(\mathrm{L}) \int_{E_y} f(x) \mathrm{d} x $$ 均存在有限，且有 $(\mathrm{L}) \int_0^{+\infty} F(y) \mathrm{d} y=(\mathrm{L}) \int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x$. 证明 证法 1 （省＂（L）＂）因为 $$ \begin{aligned} 0 \leqslant F(y) & =\int_{E_y} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{y} \int_{E_y} f(x) \cdot y \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{y} \int_{E_y} f(x) g(x) \mathrm{d} x \\ & \leqslant \frac{1}{y} \int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x<+\infty, \quad y>0 \end{aligned} $$ 所以对 $\forall y>0$ ， $$ F(y)=\int_{E_y} f(x) \mathrm{d} x $$ 存在有限． 作函数 $$ G(x, y)=f(x) \cdot \chi_{E(g)}(x, y) \geqslant 0 $$ 其中 $E(g)=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \leqslant y \leqslant g(x), x \in E\right\}$ 。根据 Tonelli 定理 3．7．1，有 $$ \begin{aligned} \int_0^{+\infty} F(y) \mathrm{d} y & =\int_0^{+\infty} \mathrm{d} y \int_{E_y} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\mathbf{R}^1} \mathrm{~d} y \int_{\mathbf{R}^1} G(x, y) \mathrm{d} x \\ & =\int_{\mathbf{R}^2} G(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{\mathbf{R}^1} \mathrm{~d} x \int_{\mathbf{R}^1} G(x, y) \mathrm{d} y \\ & =\int_E \mathrm{~d} x \int_0^{g(x)} f(x) \mathrm{d} y=\int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\text { 证法 } 2\\ &\begin{aligned} \int_0^{+\infty} F(y) \mathrm{d} y & =\int_0^{+\infty}\left(\int_{E_y} f(x) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y \\ & =\int_0^{+\infty}\left(\int_E f(x) \chi_{E_y}(x) \mathrm{d} x\right) \xlongequal{\text { Tonelli }} \int_E f(x)\left(\int_0^{+\infty} \chi_{E_y}(x) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x \\ & =\int_E f(x) \int_0^{g(x)} 1 \mathrm{~d} y=\int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x \end{aligned} \end{aligned} $$

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【34532】 【 重积分、累次积分与Fubini定理】 证明题 设 $f(x, y)$ 在 $[0,1] \times[0,1]$ 上为 Lebesgue 可积函数．证明： $$ \int_0^1\left[\int_0^x f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_0^1\left[\int_y^1 f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y . $$

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【34531】 【 单调函数、有界变差与Vitali覆盖定理】 证明题 设 $a<c<b, f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 为有界变差函数．证明： （1）$\left.\bigvee_a^b+f\right)=\bigvee_a^c(f)+\bigvee_c^b(f)$ ． （2）$\bigvee_a^b-(f)=\bigvee_a^c(f)+\bigvee_c^b(f)$ ．

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【34530】 【 单调函数、有界变差与Vitali覆盖定理】 证明题 设 $E$ 为 $\mathrm{R}^1$ 中一族（开、闭、半开闭）区间的并集．证明：$E$ 为 Lebesgue 可测集．

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