【34529】 【 单调函数、有界变差与Vitali覆盖定理】 证明题 设 $f \in \operatorname{BV}([a, b]), f_n \in \operatorname{BV}([a, b]), n=1,2, \cdots$ ，且有 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \bigvee_a^b\left(f-f_n\right)=0 $$ 证明：存在 $\left\{f_n\right\}$ 的子列 $\left\{f_{n_i}\right\}$ ，s．t．在 $[a, b]$ 上有 $$ \lim _{i \rightarrow+\infty} f_{n_i}^{\prime}(x) \doteq f_m^{\doteq} f^{\prime}(x) $$

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【34528】 【 单调函数、有界变差与Vitali覆盖定理】 证明题 设 $\left\{f_k\right\}$ 为 $[a, b]$ 上的有界变差函数列，且有 $$ \begin{gathered} \bigvee_a^b\left(f_k\right) \leqslant M, \quad k=1,2, \cdots, \\ \lim _{k \rightarrow+\infty} f_k(x)=f(x), \quad \forall x \in[a, b] . \end{gathered} $$ 证明：$f \in \mathrm{BV}([a, b])$ ，且 $\bigvee_a^b(f) \leqslant M$ ．

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【34527】 【 2018-2019广西科技大学《高等数学A》下册期末考试试卷】 证明题 证明曲面 $(z-2 x)^2=(z-3 y)^3$ 上任一点处的法线都平行于平面 $3 x+2 y+6 z-1=0$

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【34526】 【 2018-2019广西科技大学《高等数学A》下册期末考试试卷】 解答题 设有二阶常系数非齐次线性微分 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=4 e^x$ ．求 （1）求对应的常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0$ 的通解； （2）求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=4 e^x$ 的一个特解； （3）求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=4 e^x$ 的通解．

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【34525】 【 2018-2019广西科技大学《高等数学A》下册期末考试试卷】 解答题 设有幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{3^n x^n}{n+1}$ ， （1）求其收敛半径； （2）指出其收敛区间； （3）讨论幂级数在收敛区间端点处的敛散性，并确定其收敛域。

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【34524】 【 2018-2019广西科技大学《高等数学A》下册期末考试试卷】 解答题 将函数 $f(x)=\frac{1}{(x+1)(x+3)}$ 展开成关于 $(x-2)$ 的幂级数，并指出其收敛区间

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【34523】 【 2018-2019广西科技大学《高等数学A》下册期末考试试卷】 解答题 计算对坐标的曲线积分 $\oint_L\left(2 x-x y^2\right) d x+\left(y^2-2 x y\right) d y$ ，其中积分路径 $L$ 是以 $(0,0) 、(1,1) 、(0,1) 、(1,0)$ 为顶点的正方形区域的取正向的整个边界

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【34522】 【 2018-2019广西科技大学《高等数学A》下册期末考试试卷】 解答题 交换二次积分 $I=\int_1^2 d x \int_{\frac{1}{x}}^1 y e^{x y} d y$ 的积分次序，并求出 $I$ 的值

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【34521】 【 2018-2019广西科技大学《高等数学A》下册期末考试试卷】 解答题 设二元函数 $z(x, y)=e^{a x^2+b y^2+4 x-y+1}$ 在点 $(1,1)$ 处取得极值，求 $a 、 b$ 的值

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【34520】 【 2018-2019广西科技大学《高等数学A》下册期末考试试卷】 解答题 设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+x=e^{z-y}$ 所确定，求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及全微分 $d z$

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