设 $\left\{f_k\right\}$ 为 $[a, b]$ 上的有界变差函数列，且有

$$
\begin{gathered}
\bigvee_a^b\left(f_k\right) \leqslant M, \quad k=1,2, \cdots, \\
\lim _{k \rightarrow+\infty} f_k(x)=f(x), \quad \forall x \in[a, b] .
\end{gathered}
$$
证明：$f \in \mathrm{BV}([a, b])$ ，且 $\bigvee_a^b(f) \leqslant M$ ．