设 $f \in \operatorname{BV}([a, b]), f_n \in \operatorname{BV}([a, b]), n=1,2, \cdots$ ，且有

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \bigvee_a^b\left(f-f_n\right)=0
$$


证明：存在 $\left\{f_n\right\}$ 的子列 $\left\{f_{n_i}\right\}$ ，s．t．在 $[a, b]$ 上有

$$
\lim _{i \rightarrow+\infty} f_{n_i}^{\prime}(x) \doteq f_m^{\doteq} f^{\prime}(x)
$$