【34549】 【 2018-2019广西科技大学《线性代数A》第二学期期末考试试卷】 填空题 设 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right), \boldsymbol{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ，则 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{-1}=$

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【34548】 【 2018-2019广西科技大学《线性代数A》第二学期期末考试试卷】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶方阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $\left|-2 \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=$

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【34547】 【 2018-2019广西科技大学《线性代数A》第二学期期末考试试卷】 填空题 设齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+\lambda^2 x_3=0\end{array}\right.$ 有非零解，则 $\lambda=$

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【34546】 【 2018-2019广西科技大学《线性代数A》第二学期期末考试试卷】 填空题 设 $\left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right|=3$ ，则 $\left|\begin{array}{lll}2 b_1 & 2 b_2 & 2 b_3 \\ 2 a_1 & 2 a_2 & 2 a_3 \\ 2 c_1 & 2 c_2 & 2 c_3\end{array}\right|=$

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【34545】 【 L2空间】 证明题 证明：Legendre 多项式函数列 $$ \mathrm{P}_n(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{~d} x^n}\left(x^2-1\right)^n, n=0,1,2, \cdots $$ 为 $\mathscr{L}^2([-1,1])$ 中的正交系，但不是规范的．

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【34544】 【 L2空间】 证明题 证明：Chebyshev－Hermite 函数列 $$ \varphi_n(x)=(-1)^n \mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}} \frac{\mathrm{~d}^n}{\mathrm{~d} x^n} \mathrm{e}^{-x^2}, \quad n=1,2,3, \cdots $$ 为 $\mathscr{L}^2\left(\mathbb{R}^1\right)$ 中的正交系，但不是规范的．

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【34543】 【 L2空间】 证明题 设 $\left\{\varphi_i\right\}_{i=1}^n$ 为 $\mathscr{L}^2(E)$ 中的规范正交系．证明：由 $\left\{\varphi_i\right\}_{i=1}^n$ 张成的线性子空间 $\mathscr{L}\left(\left\{\varphi_i\right\}_{i=1}^n\right)$ 为 $\mathscr{L}^2 .(E)$ 中的一个 $n$ 维闭线性子空间。

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【34542】 【 L2空间】 证明题 在 $\mathscr{L}^2([-\pi, \pi])$ 中，证明： $$ \left\{\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x, \cdots, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos k x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin k x, \cdots\right\} $$ 不是完全系．

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【34541】 【 Lp空间】 证明题 设 $f(x), g(x)$ 为 $E$ 上非负可测函数． $1 \leqslant p<+\infty, 1 \leqslant q<+\infty, 1 \leqslant r \leqslant+\infty$ ， $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-1$ ．证明 ： $$ \int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant\|f\|_p^{1-\frac{p}{r}}\|g\|_q^{1-\frac{q}{r}}\left(\int_E f^p(x) g^q(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{r}} $$

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【34540】 【 Lp空间】 证明题 设 $0<p, q<+\infty$ ．证明： $$ \mathscr{L}^p(E) \cdot \mathscr{L}^q(E)=\mathscr{L}_{p+q}^{\not q q}(E), $$ 其中 $\mathscr{L}^p(E) \cdot \mathscr{L}^q(E)=\left\{f \cdot g \mid f \in \mathscr{L}^p(E), g \in \mathscr{L}^q(E)\right\}$ 。

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