设 $0 < p, q < +\infty$ ．证明：
$$
\mathscr{L}^p(E) \cdot \mathscr{L}^q(E)=\mathscr{L}_{p+q}^{\not q q}(E),
$$
其中 $\mathscr{L}^p(E) \cdot \mathscr{L}^q(E)=\left\{f \cdot g \mid f \in \mathscr{L}^p(E), g \in \mathscr{L}^q(E)\right\}$ 。
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$