设 $f(x), g(x)$ 为 $E$ 上非负可测函数． $1 \leqslant p < +\infty, 1 \leqslant q < +\infty, 1 \leqslant r \leqslant+\infty$ ， $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-1$ ．证明 ：

$$
\int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant\|f\|_p^{1-\frac{p}{r}}\|g\|_q^{1-\frac{q}{r}}\left(\int_E f^p(x) g^q(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{r}}
$$