【24761】 【 新定义型二次函数问题】 解答题 【【阅读理解】 定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于一个动点 $P(x, y)$ ，若 $x, y$ 都可以用同一个字母表示，那么点 $P$ 的运动路径是确定的．若根据点 $P$ 坐标求出点 $P$ 运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点＂去隐＂。 例如，将点 $M(m+1,-m+1)$（ $m$ 为任意实数）＂去隐＂的方法如下： 设 $x=m+1$（1）,$\quad y=-m+1$（2）， 由（1）得 $m=x-1$（3） 将（3）代入（2）得 $y=-(x-1)+1$ ，整理得 $y=-x+2$ ， 则直线 $y=-x+2$ 是点 $M$ 的运动路径． 【迁移应用】在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知动点 $Q\left(-a,-\frac{1}{4} a^2-a+3\right)$（ $a$ 为任意实数）的运动路径是抛物线． [img=/uploads/2025-02/d805de.jpg][/img] （1）请将点 $Q^{\prime}$ 去隐＂，得到该抛物线表达式； （2）记（1）中抛物线为 $W$（如图），$W$ 与 $x$ 轴交于点 $A, B$（ $A$ 在 $B$ 的左侧），其顶点为点 $C$ ，现将 $W$ 进行平移，平移后的抛物线 $W^{\prime}$ 始终过点 $A$ ，点 $C$ 的对应点为 $C^{\prime}$ ． i）试确定点 $C^{\prime}$ 运动路径所对应的函数表达式； ii ）在直线 $x=-2$ 的左侧，是否存在点 $C^{\prime}$ ，使 $\triangle A C C^{\prime}$ 为等腰三角形？若存在，求出点 $C^{\prime}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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【24760】 【 新定义型二次函数问题】 解答题 定义：关于 $x$ 轴对称且对称轴相同的两条拋物线叫作＂同轴对称抛物线＂． 例如：$y=(x-1)^2-2$ 的＂同轴对称抛物线＂为 $y=-(x-1)^2+2$ ． [img=/uploads/2025-02/f1251c.jpg][/img] （1）请写出抛物线 $y=(x-1)^2-2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；及其＂同轴对称抛物线＂$y=-(x-1)^2+2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；写出抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的＂同轴对称抛物线＂为 $\qquad$ ． （2）如图，在平面直角坐标系中，点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点，点 $B$ 的横坐标为 1 ，过点 $B$ 作 $x$轴的垂线，交抛物线 $L$ 的＂同轴对称抛物线＂于点 $C$ ，分别作点 $B, ~ C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime}, ~ C^{\prime}$ ，连接 $B C, ~ C C^{\prime}, ~ B^{\prime} C^{\prime}, ~ B B^{\prime}$ ，设四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 的面积为 $S(S>0)$ ． ① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 为正方形时，求 $a$ 的值． ② 当抛物线 $L$ 与其＂同轴对称抛物线＂围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横，纵坐标均为整数的点时，请求出 $a$ 的取值范围．

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【24759】 【 新定义型二次函数问题】 解答题 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 $y=a_1 x^2+b_1 x+c_1\left(a_1 \neq 0, a_1, b_1, c_1\right.$ 是常数）与 $y=a_2 x^2+b_2 x+c_2\left(a_2 \neq 0, a_2, b_2, c_2\right.$ 是常数）满足 $a_1+a_2=0, b_1=b_2, c_1+c_2=0$ ，则称这两个函数互为＂旋转函数＂．求 $y=-x^2+3 x-2$ 函数的＂旋转函数＂． 小明是这样思考的：由 $y=-x^2+3 x-2$ 函数可知 $a_1=-1, b_1=3, c_1=-2$ ，根据 $a_1+a_2=0, b_1=b_2, c_1+c_2=0$求出 $a_2, b_2, c_2$ ，就能确定这个函数的＂旋转函数＂． 请参考小明的方法解决下面的问题： （1）写出函数 $y=-x^2+3 x-2$ 的＂旋转函数＂； （2）若函数 $y_1=x^2-\frac{4 n}{3} x+n$ 与 $y_2=-x^2+m x-3$ 互为＂旋转函数＂，求 $(m+n)^{2016}$ 的值； （3）已知函数 $y=\frac{1}{2}(x-1)(x+4)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A , ~ B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A , ~ B, ~ C$ 关于原点的对称点分别是 $A_1, ~ B_1, ~ C_1$ ，试证明经过点 $A_1, ~ B_1, ~ C_1$ 的二次函数与函数 $y=\frac{1}{2}(x-1)(x+4)$ 互为＂旋转函数＂．

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【24758】 【 新定义型二次函数问题】 解答题 定义：同时经过 $x$ 轴上两点 $A(m, 0), B(n, 0)(m \neq n)$ 的两条拋物线称为同弦抛物线．如抛物线 $C_1: y=(x-1)(x-3)$ 与抛物线 $C_2: y=2(x-1)(x-3)$ 是都经过 $(1,0),(3,0)$ 的同弦抛物线． （1）引进一个字母，表达出抛物线 $C_1$ 的所有同弦抛物线； （2）判断抛物线 $C_3: y=\frac{1}{2} x^2-\frac{3}{2} x+1$ 与抛物线 $C_1$ 是否为同弦抛物线，并说明理由； （3）已知抛物线 $C_4$ 是 $C_1$ 的同弦抛物线，且过点 $(4,5)$ ，求抛物线 $C_4$ 对应函数的最大值或最小值．

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【24757】 【 新定义型二次函数问题】 解答题 小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： [img=/uploads/2025-02/ca7142.jpg][/img] 求解体验： （1）已知抛物线 $y=-x^2+b x-3$ 经过点 $(-1,0)$ ，则 $b=$ $\qquad$ ，顶点坐标为 $\qquad$ ，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是 $\qquad$ ． 抽象感悟： 我们定义：对于抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ ，以 $y$ 轴上的点 $M(0, m)$ 为中心，作该抛物线关于点 $M$ 对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线 $y$ 的＂衍生抛物线＂，点 $M$ 为＂衍生中心＂． （2）已知抛物线 $y=-x^2-2 x+5$ 关于点 $(0, m)$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}$ ，若这两条抛物线有交点，求 $m$ 的取值范围．问题解决： （3）已知抛物线 $y=a x^2+2 a x-b(a \neq 0)$ ． ① 若抛物线 $y$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}=b x^2-2 b x+a^2(b \neq 0)$ ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$ ， $b$ 的值及衍生中心的坐标； ② 若抛物线 $y$ 关于点 $\left(0, k+1^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_1$ ，其顶点为 $A_1$ ；关于点 $\left(0, k+2^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_2$ ，其顶点为 $A_2 ; \ldots$ ；关于点 $\left(0, k+n^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_n$ ，其顶点为 $A_n, \ldots$（ $n$ 为正整数）．求 $A_n A_{n-1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）。

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【24756】 【 上海财经大学应用数学系编《一维随机变量与分布2》 】 解答题 设随机变量 $X$ 的密度函数为 $p_X(x)$ ，试求随机变量函数 $Y=|X|$ 的分布函数与密度函数．

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【24755】 【 上海财经大学应用数学系编《一维随机变量与分布2》 】 解答题 设随机变量 $X$ 的密度函数为 $$ p_X(x)= \begin{cases}2 x^3 e^{-x^2} & x>0 \\ 0 & x \leqslant 0\end{cases} $$ 分别求出 $Y=X^2$ 与 $Y=\ln X$ 的密度函数．

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【24754】 【 上海财经大学应用数学系编《一维随机变量与分布2》 】 解答题 设 $X$ 的密度函数为 $$ p_X(x)= \begin{cases}6 x(1-x) & 0<x<1 \\ 0 & \text { 其他 }\end{cases} $$ 求 $Y=2 X+1$ 的密度函数．

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【24753】 【 上海财经大学应用数学系编《一维随机变量与分布2》 】 解答题 已知X分布函数 $$ F(x)= \begin{cases}0 & x<-1 \\ \frac{1}{3} & -1 \leqslant x<0 \\ \frac{1}{2} & 0 \leqslant x<1 \\ \frac{2}{3} & 1 \leqslant x<2 \\ 1 & x \geqslant 2\end{cases} $$ （1）求 $Y=\left(\sin \frac{\pi}{6} X\right)^2$ 的分布函数； （2）求 $P(0 \leqslant Y<0.5)$ ．

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【24752】 【 上海财经大学应用数学系编《一维随机变量与分布2》 】 解答题 测量某距离时总发生随机误差 $X$（单位： cm ），已知 $X$ 的密度函数为 $$ p(x)=A e^{-\frac{(x-20)^2}{3200}} \quad-\infty<x<+\infty $$ （1）确定常数 $A$ ； （2）求 3 次独立测量中至少有一次误差绝对值不超过 30 cm 的概率．

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