单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sin ^a\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cdot \cos ^{1-a}\left(\frac{\pi}{2} x\right)} d x$ 收敛，则 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $-1 < a < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1$
$\text{C.}$ $0 < a < 2$
$\text{D.}$ $-1 < a < 0$
设 $y=y(x)$ 为微分方程 $2 x y d x+\left(x^2-1\right) d y=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$ 的特解，则 $\int_0^{\frac{1}{2}} y(x) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $-\ln 3$
$\text{B.}$ $\ln 3$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} \ln 3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \ln 3$
下列函数中，点 $x=0$ 是可去间断点的是（ ）。
（1）$f(x)=\frac{\ln |x|}{\cot x}$ ；
（2）$f(x)=\frac{\mathrm{d}\left(\int_{-1}^x g(t) \mathrm{d} t\right)}{\mathrm{d} x}$ ，其中 $g(t)= \begin{cases}1, & t \neq 0, \\ 0, & t=0 ;\end{cases}$
（3）$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n} \ln \left(1+n \mathrm{e}^{n x}\right)+\frac{\sin x+\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{2 n x}}\right]$ ．
$\text{A.}$ （1）（2）
$\text{B.}$ （2）（3）
$\text{C.}$ （1）（3）
$\text{D.}$ （1）（2）（3）
设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq y \leq 1\}$ 上连续，且 $f(x, y)=f(y, x)$ ，则 $\iint_D f(x, y) d x d y=(\quad)$
$\text{A.}$ $2 \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=n+1-1}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{C.}$ $2 \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^{2 n+1-i} f\left(\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^L f\left(\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}\right) \frac{1}{n^2}$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x-a z=e^{y+a z}$（ $a$ 是非零常数）确定，则（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
已知质点以恒定速率沿曲线运动时，向心加速度大小为 $\frac{V^2}{\rho}$ ，其中 $V$ 为质点的运动速率，$\rho$ 为曲率半径．现有三条曲线形光滑轨道 $O_i(i=1,2,3), O_i$ 的方程分别为（1）$x^2+y^2=2$ ，（2）$y=\frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2}$ ，（3）$y=\frac{1}{x}$ 。当单位质点以恒定速率 $v$ 沿着下列光滑轨道运动时，质点在点 $(1,1)$ 处受到的向心力大小 $F_i(i=1,2,3)$ 按从大到小的顺序为
$\text{A.}$ $F_1=F_3>F_2$ ．
$\text{B.}$ $F_2>F_1=F_3$ ．
$\text{C.}$ $F_3>F_1>F_2$ ．
$\text{D.}$ $F_1>F_2>F_3$ ．
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\sin (x y)+\ln y-x=1$ 确定，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left[f\left(\frac{1}{n^2}\right)-\mathrm{e}\right]=$
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}$ ．
$\text{B.}$ $e(1-e)$ ．
$\text{C.}$ e．
$\text{D.}$ 2 e ．
在 $O x y$ 平面上，光滑曲线 $L$ 过 $(1,0)$ 点，并且曲线 $L$ 上任意一点 $P(x, y)(x \neq 0)$ 处的切线斜率与直线 $O P$ 的斜率之差等于 $a x$（ $a>0$ 为常数）．如果 $L$ 与直线 $y=a x$ 所围成的平面图形的面积为 8 ，则 $a$ 的值为
$\text{A.}$ 2 ．
$\text{B.}$ 4.
$\text{C.}$ 6.
$\text{D.}$ 8.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 可导且是以 $T$ 为周期的周期函数，又 $x_0$ 是 $f(x)$ 在 $[0, T]$ 上的最大值点，则下列命题中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 可能为零也可能小于零
$\text{B.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{D.}$ 总有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
设 $f(x)$ 有连续的导数 $f(0)=0 f^{\prime}(0) \neq 0, F(x)=\int_0^x\left(x^2-t^2\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，且当 $x \rightarrow 0$ 时，$F^{\prime}(x)$ 与 $x^k$是同阶无穷小
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设区域 $D$ 由曲线 $x^3+y^3-6 x y=0(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 围成．
（I）求 $D$ 的面积；
（II）若 $D$ 的形心的横坐标 $\bar{x}=a$ ，求 $\int_0^{+\infty} \frac{t^4}{\left(1+t^3\right)^3} \mathrm{~d} t$ ，结果用 $a$ 表示．
已知 $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)+2 y \varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ ，其中 $f, \varphi$ 均为二阶可导函数．
（1）求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ；
（2）若 $f=\varphi,\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{x=1}=-2 y^2$ ，且曲线 $y=f(x)$ 与 $2 y=-1+x y^3$ 在点 $(1,-1)$ 处相切，求 $f(x)$ 的表达式。
计算 $I=\iint_D\left(x^3 \cos y+x^2+y^2-\sin x-2 y+1\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+(y-1)^2 \leqslant\right. \left.2, x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{x-\int_0^x \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t}{x^{p} \sin 2 x}=c(c \neq 0)$ ，求常数，$p, c$ ．