解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\int_0^{\sqrt{t}} d u \int_{u^2}^t \sin y^2 d y}{\left[\left(\frac{2}{\pi} \arctan \frac{x}{t^2}\right)^x-1\right] \arctan t^{\frac{3}{2}}}$.
求 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} d x$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $\int_0^1 f(x) d x=0$, 且对任意的 $x \in(0,1)$, $\int_0^x f(t) d t \neq 0$, 证明在 $(0,1)$ 内存在一点 $\xi$, 使 $f(\xi)=\int_0^x f(t) d t$.
$\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$
设可导函数 $f(x)$ 满足 $\int x^3 f^{\prime}(x) d x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$, 且 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 求 $\int f(x) d x$.
计算不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \ln \frac{\sqrt{a+x}}{2 a-x} d x(a>0)$ ．
已知函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)= e ^{-x^2}$ ，反常积分 $\int_0^{+\infty} x f(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty} x^3 f(x) d x$ 均收敛．
（1）判断极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 是否存在，若存在，求其值；
（2）求 $f(0)$ ．
设曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=1+\cos \theta, \theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，质点 $P$ 在力 $F$的作用下沿曲线 $L$ 从点 $A(0,-1)$ 运动到点 $B(0,1)$ ，力 $F$ 的大小等于点 $P$ 到点 $M(3,4)$的距离，其方向垂直于线段 $M P$ ，且与 $y$ 轴正向的夹角为锐角，求力 $F$ 对质点 $P$ 做的功 $W$ 。
设 $f(x)$ 连续且满足 $\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^2$ 且 $f(1)=1$ ，求 $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$ ．
计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^2} \mathrm{~d} x$ ；
已知曲线 $y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $y=\ln \sqrt{x}$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有公切线，求：（1）常数 $a$ 及切点 $\left(x_0, y_0\right)$ ；（2）两曲线与 $x$ 轴围成的平面图形的面积 $S$ 及绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V$ ．
计算不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}$ ．
设连续函数$f(x)$ 满足$ f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \int_x^{\frac{\pi}{2}} f(y) f(y-x) \mathrm{d} y$ ，求 $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$
设 $f(x)=\int_1^{x^2} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x$
设有抛物线 $\Gamma: y=a-b x^2(a>0, b>0)$ ，试确定常数 $a, b$ 的值，使得
（1）$\Gamma$ 与直线 $y=x+1$ 相切；
（2）$\Gamma$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积最大．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，而且对任何 $x \in(0,1)$ ，有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．求证：对任何正整数 $n$ ，有
$$
\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{n},
$$
其中 $M$ 是一个与 $x$ 无关的常数．