单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，
$$
f(0,0)=0, \vec{n}=\left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},-1\right)\right|_{(0,0)}
$$
非零向量 $\vec{\alpha}$ 与 $\vec{n}$ 垂直，则
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{n} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{n} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{\alpha} \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\vec{\alpha} \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 存在
设连续可偏导的函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-2 x-y+1}{(x-1)^2+y^2}=-1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left( e ^{2 x^2}, x \tan 2 x\right)\right]^{\frac{1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+\ln (1+x)}}}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $e ^6$
$\text{B.}$ $e^{12}$
$\text{C.}$ $e^{18}$
$\text{D.}$ $e ^{24}$
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-2 y=3^x+x e ^{-x} \cos x$ ，下列 $a, b, b_1, b_2, c, c_1, c_2, d$ 均为任意常数，则其特解形式为（ ）。
$\text{A.}$ $a \cdot 3^x+x e ^{-x}\left[\left(b_1 x+c_1\right) \cos x+\left(b_2 x+c_2\right) \sin x\right]$
$\text{B.}$ $e \cdot 3^x+ e ^{-x}[(a x+b) \cos x+(c x+d) \sin x]$
$\text{C.}$ $a \cdot 3^x+x e ^{-x}(b x+c) \cos x$
$\text{D.}$ $3^x+ e ^{-x}[(a x+b) \cos x+(c x+d) \sin x]$
极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{x} \int_0^x \frac{t^4+2}{\left(t^2+1\right)^2} d t\right]^{2 x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{B.}$ $e ^{\frac{\pi}{2}}$
$\text{C.}$ $e ^{-\frac{\pi}{2}}$
$\text{D.}$ $e ^{-\frac{\pi}{4}}$
已知奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内三阶可导，则极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)-t f^{\prime}(t)}{\int_0^{\sqrt{t}} d x \int_{x^2}^t \sin \left(\sqrt{y} x^2\right) d y}=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $3 f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{B.}$ $-3 f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2} f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} f^{\prime \prime \prime}(0)$
下列反常积分发散的是（ ）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{1+x}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2 x}{x^{\frac{3}{2}} \ln (1+x)} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x^2}{x^2 \ln x} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\left( e ^{-x}-1\right) \ln (1+\sqrt{x})}{x^2} d x$
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sin n}$ 绝对收敛，则下列结论中，正确的是
$\text{A.}$ 对任意大于 $\frac{1}{2}$ 的 $\lambda$ ，都有 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 绝对收敛．
$\text{B.}$ 对任意大于 $\frac{1}{2}$ 的 $\lambda$ ，都有 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 条件收敛．
$\text{C.}$ 对任意小于 $\frac{1}{2}$ 的 $\lambda$ ，都有 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 条件收敛．
$\text{D.}$ 对任意小于 $\frac{1}{2}$ 的 $\lambda$ ，都有 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 发散．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^2+y^2\right)}{x^2+y^2} \arctan \left(1+x^2+y^2\right), x^2+y^2 \neq 0, \\ \frac{\pi}{2}, \quad x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 若平面区域 $D: x^2+y^2 \leqslant a^2$ ，则 $\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\pi a^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$ ．
$\text{D.}$ 0 ．
设 $I_i=\iint_{D_i} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma, i=1,2,3$ ，其中 $D_1=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}, D_2=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 2 R^2\right\}, D_3= \{(x, y)||x| \leqslant R,|y| \leqslant R\}, R>0$ ，则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$ ．
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$ ．
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$ ．
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$ ．
设 $t$ 时刻某证券的交易单价为 $p(t)$ ，某机构持有该证券的份额为 $q(t)$ ，若该机构在 $[0, T]$ 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{T} \int_0^T p(t) d t$
$\text{B.}$ $\frac{1}{q(T)-q(0)} \int_0^T p(t) d t$
$\text{C.}$ $\frac{1}{T} \int_0^T p(t) q^{\prime}(t) d t$
$\text{D.}$ $\frac{1}{q(T)-q(0)} \int_0^T p(t) q^{\prime}(t) d t$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int \frac{(x \sin x+\cos x)^2}{\cos ^2 x} d x=$
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成的有界区域绕极轴旋转一周所得旋转体的体积为 .
已知有向曲线 $L$ 是沿抛物线 $y=1-x^2$ 从点 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 的段, 则曲线积分
$$
\int_L(y+\cos x) d x+(2 x+\cos y) d y=
$$
求函数 $y(x)=\frac{x \int_0^{\frac{1}{x}}\left( e ^t+\tan t\right)^{\frac{1}{\ln (1+t)} d t}}{\sin \frac{1}{x}}$ 的斜渐近线方程．
已知函数 $z=f(x, y)$ 满足 $r \cdot z_r^{\prime}=y, z_\theta^{\prime}=x$ ，其中 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta, \\ y=r \sin \theta,\end{array}\right.$ 则 $z_x^{\prime}-z_y^{\prime}=$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\int_{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}^y\left|\sin t^2\right| d t+\int_0^{\sin x} \sqrt{1+t^3} d t=0$ 所确定，则曲线 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \ln \frac{\sqrt{a+x}}{2 a-x} d x(a>0)$ ．
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续的偏导数，$z=f\left(\frac{x^2+y^2}{2}, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ 满足 $y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}-\frac{y^2}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+$ $\frac{x^2}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=4 y^2$,
（I）求 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}$ ；
（II）若 $\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(u, u)}=\ln |2 u|-u, f(v, v)=2 v \ln |2 v|-v-\frac{v^2}{2}$ ，求 $f(1,1)$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续的二阶导数，满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$ ，且 $\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x=1$ ，证明：
（ I ） $\int_0^1\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leqslant 1$ ；
（II）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)+f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设 $y=f(x)$ 是由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+2 t \\ t^2-y+a \sin y=1\end{array}\right.$ 确定，若 $\left.y\right|_{t=0}=b$ ，请计算 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}$ ．
设 $\varphi(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的连续函数且 $\Phi^{\prime}(x)=\varphi(x), \Phi(0)=0, \Phi(2 \pi) \neq 0$ ．
（1）求解方程 $y^{\prime}+y \sin x=\varphi(x) \mathrm{e}^{\cos x}$ ；（2）以上方程是否存在以 $2 \pi$ 为周期的解．
设椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 在点 $A\left(1, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$ 的切线交 $y$ 轴于 $B$ ，设 $L$ 为从 $A$ 到 $B$ 的有向线段，试计算 $I=\int_L\left(\frac{\sin y}{x+1}-\sqrt{3} y\right) \mathrm{d} x+(\cos y \ln (1+x)+2 \sqrt{3} x-\sqrt{3}) \mathrm{d} y$ ．