单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\frac{x(x+1) e^{\frac{1}{x}}}{\ln x^2}$ 的无穷间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^{x^2}[1-\cos (x t)] d t$ 与 $x^n$ 为同阶无穷小, 则 $n$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
设 $f(x)=\frac{\left|x^3+x^2-2 x\right| \cdot|\ln | x| |}{x^2-1} e ^{\frac{1}{x-2}}$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $f(x)$ 有 1 个可去间断点， 2 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有 2 个可去间断点， 1 个跳跃间断点， 1 个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有 2 个可去间断点， 2 个跳跃间断点，没有第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有 3 个可去间断点， 1 个第二类间断点
已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_n}{2 n-1}\right)^{n^2 \sin \frac{1}{n}}=A>0$ ，且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n-k n\right)=B$（ $k$ 为常数）存在，则 $B=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $2 \ln A+1$
$\text{B.}$ $2 \ln A-1$
$\text{C.}$ $-A$
$\text{D.}$ $2 \ln A$
已知 $f(x)=\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x-|\ln (1+x)|} \cdot \frac{ e ^{\frac{1}{x-1}}+ e ^{x-1}}{ e ^{\frac{1}{x-1}}- e ^{x-1}}$ ，则下列说法正确的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点，一个可去间断点和一个无穷间断点
$\text{B.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在闭区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 上有界
$\text{C.}$ $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 内不可积
$\text{D.}$ 记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ，则 $F(x)$ 在开区间 $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 内可导
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{-\frac{[x] \cos \sqrt{4 n^2+1 \pi}}{x}}-\mathrm{e}^{n[x]}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的连续点．
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点．
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点．
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的无穷间断点．
若反常积分 $I=\int_1^{+\infty} \frac{x+1}{x^p \sqrt{x^q-1}} \mathrm{~d} x$ 收敛（ $p, q$ 为正常数），则 $p, q$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\frac{p}{2}+\frac{q}{4} < 1$ ．
$\text{B.}$ $0 < q < 2, p+q>2$ ．
$\text{C.}$ $\frac{p}{2}+\frac{q}{4}>1$ ．
$\text{D.}$ $q>2, p+\frac{q}{2}>4$ ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)$ 是可导的单调递减函数，且 $f(x)>0$ ，记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ．
（1）证明：当 $a>0$ 时，若 $x \in(0, a)$ ，有 $\frac{x}{a} F(a) < F(x) < f(0) x$ ；
（2）若 $f(0) < 1$ ，记 $x_1 \in(0, a), x_{n+1}=F\left(x_n\right), n=1,2, \cdots$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：（1）$f(x), g(x)$ 均在 $[a, b]$ 上连续，则
$$
\left(\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^2 \leqslant \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x \cdot \int_a^b g^2(x) \mathrm{d} x
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且恒大于零，则 $1 \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ ．