单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 可导, $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$, 则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的
$\text{A.}$ 充分必要条件.
$\text{B.}$ 充分条件但非必要条件.
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件.
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件.
设 $\alpha=(\cos 2 x)^{x-\ln (1+x)}-1, \beta=\ln \frac{1+x^2}{1-x^3}, \gamma=\int_0^{\arcsin ^2 x} \frac{\sin \sqrt{t}}{2+t^2} d t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，三个无穷小的阶数由低到高的顺序为（）。
$\text{A.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{B.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{C.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
$\text{D.}$ $\gamma, \beta, \alpha$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^2+y^2\right)}{x^2+y^2} \arctan \left(1+x^2+y^2\right), x^2+y^2 \neq 0, \\ \frac{\pi}{2}, \quad x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 若平面区域 $D: x^2+y^2 \leqslant a^2$ ，则 $\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\pi a^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$ ．
$\text{D.}$ 0 ．
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (x y)}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 点处 () ．
$\text{A.}$ 连续，且 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{B.}$ 连续，但 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
$\text{C.}$ 不连续，但 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{D.}$ 不连续，且 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
关于积分 $\int_1^{+\infty} \frac{x^m}{1+x^n} \mathrm{~d} x(m>0, n>0)$ 的敛散性判断，正确的是（ ）
$\text{A.}$ 当 $n-m>1$ 时收敛；当 $n-m \leqslant 1$ 时发散．
$\text{B.}$ 当 $n-m \geqslant 1$ 时收敛；当 $n-m < 1$ 时发散．
$\text{C.}$ 当 $n-m \leqslant 1$ 时收敛；当 $n-m>1$ 时发散．
$\text{D.}$ 当 $n-m < 1$ 时收敛；当 $n-m \geqslant 1$ 时发散．
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2 x}{1+\mathrm{e}^{\sin x}} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}}} \mathrm{~d} x, I_3=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\mathrm{e}^{\sin x}} \mathrm{~d} x$ ，则
$\text{A.}$ $I_2$ 最小．
$\text{B.}$ $I_3$ 最小。
$\text{C.}$ $I_1 < 1+\ln 2-\ln (1+\mathrm{e})$ ．
$\text{D.}$ $I_3 < 1+\ln 2-\ln (1+\mathrm{e})$ ．
已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime} -6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\sin 2 x$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} x^2 \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．
$\text{C.}$ $\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
$\text{D.}$ $\left(x^2 \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
设连续函数 $f(x)$ 满足 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_1^{2 x} f(t) \mathrm{d} t=4 x \mathrm{e}^{-2 x}$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)=$
$\text{A.}$ $(x+1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{B.}$ $-(x+1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{C.}$ $(x-1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{D.}$ $-(x-1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^\alpha \sin \frac{1}{x^\beta}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $\alpha, \beta$ 满足条件
$\text{A.}$ $\alpha>0, \beta>0$ ．
$\text{B.}$ $\alpha < 0, \beta < 0$ ．
$\text{C.}$ $\alpha>0$ ，或 $\beta < 0$ 且 $\alpha-\beta>0$ ．
$\text{D.}$ $\alpha>0, \alpha-\beta < 0$ ．
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=\mathrm{e}^{x^2+y^2}+x y \iint_D x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ 等于
$\text{A.}$ $4 x y \mathrm{e}^{x^2+y^2}+\frac{9}{16}(\mathrm{e}-1)^2$ ．
$\text{B.}$ $2 x y \mathrm{e}^{x^2+y^2}+\frac{9}{16}(\mathrm{e}-1)$ ．
$\text{C.}$ $4 x y \mathrm{e}^{x^2+y^2}+\frac{9}{32}(\mathrm{e}-1)^2$ ．
$\text{D.}$ $4 x y \mathrm{e}^{\mathrm{x}^2+y^2}+\frac{9}{16}(\mathrm{e}-1)$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设二元函数 $F(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，$F_1^{\prime}+\frac{1}{\sqrt{3}} F_2^{\prime} \neq 0, z=z(x, y)$ 是由方程 $F\left(x y z, \sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)=0$ 所确定的隐函数，且 $z(1,1)=1$ ，则 $\left. d z\right|_{(1,1)}=$
已知函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}\right.\right\}$ 有连续偏导数，且 $f(x, x)=$
$$
\frac{\sec ^2 x}{(1+\tan x)^2}, \iint_D f(x, y) d x d y=\ln 2 \text {, 则 } \iint_D y f_y^{\prime} d x d y=
$$
已知曲线 $L: y=\frac{1}{2} x^2, x \geqslant 0$ ，原点为 $O(0,0)$ ．设 $P$ 是 $L$ 上的动点，$s$ 是点 $O$ 与点 $P$ 之间曲线 $L$ 的弧长，$V$ 是直线 $O P$ 与曲线 $L$ 所围成的平面区域绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体体积，若 $s$ 关于时间 $t$ 变化的速率恒为 1 ，则当动点 $P$ 运动到点 $(2,2)$ 时，$V$ 关于时间 $t$ 变化的速率为
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{x^2}-1\right)\left(\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)}{\sqrt{1-x^2}-\cos x}=$
设定义在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的函数 $y(x)$ 满足微分方程 $2 y^{\prime}=1-\mathrm{e}^{x-2 y} \tan ^3 x$ ，且 $y(0)=0$ ，则 $y(x)=$
设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，且满足
$$
f(x)=x^2+\mathrm{e}^{-3 x^2} \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\left[1-\sin ^6(\pi x)\right] \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x,
$$
则 $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\},\left[x^2-y\right]$ 表示不超过 $x^2-y$ 的最大整数，计算 $I=\iint_D\left(1-\left[x^2-y\right]\right) \sqrt{\left|x^2-y\right|} d x d y$ ．
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且满足
$$
f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x
$$
（I）求函数 $f(x)$ 的表达式；
（II）记曲线 $y=f(x)$ 与 $y=-\frac{1}{4} \tan x$ 以及 $y$ 轴所围区域为 $D$ ，求区域 $D$ 绕直线 $y=-\frac{1}{4}$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2}+1-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-\mathrm{e}^{x^2}\right) \sin x^2}$ ；
设二元函数 $g(x, y)=f(x+y)+x y(x+y)$ ，其中 $f(u)$ 二阶可导，$f(1)=f^{\prime}(1)=-\frac{3}{4}$ 。已知 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}\right)^2=2\left(\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\right)$ ．
（I）求 $g(x, y)$ 的表达式；
（II）求 $g(x, y)$ 的驻点并判断点 $(0,0)$ 是否为 $g(x, y)$ 的极值点，并给出理由．
已知曲线 $y=f(x)$ 是微分方程 $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=(4-6 x) \mathrm{e}^{-x}$ 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0 ．试求：
（1）当 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 到 $x$ 轴的最大距离．
（2） $\int_0^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ．