单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\frac{\sin \xi}{\xi}, \frac{\sin \eta}{\eta}$ 分别为 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 和 $(0, a)(0 < a < 1)$ 上的平均值, 其中 $\xi \in(0,1), \eta \in$ $(0, a)$, 则 $\xi$ 与 $\eta$ 的大小关系为 ( )
$\text{A.}$ $\xi < \eta$.
$\text{B.}$ $\xi=\eta$.
$\text{C.}$ $\xi>\eta$.
$\text{D.}$ 从已知条件无法确定.
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有二阶导数, 满足 $f(0)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0$, 又 $0 < a < b$, 则当 $a < x < b$ 时，恒有（）
$\text{A.}$ $a f(x)>x f(a)$
$\text{B.}$ $x f(x)>a f(a)$
$\text{C.}$ $x f(x)>b f(b)$
$\text{D.}$ $b f(x)>x f(b)$
设函数 $f(x)$ 可导，$f(0)=2$ ，且 $f^{\prime}(x) < 2 f(x)$ ，则下列结论正确的是（）．
$\text{A.}$ $f(-1)>2$
$\text{B.}$ $f(-1) < \frac{2}{ e ^2}$
$\text{C.}$ $f(1)>2 e ^2$
$\text{D.}$ $f(1) < 2 e ^2$
设函数 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的可导函数，且 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $M$ ．若方程 $f(x)- x+1=0, f(x)+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内均有解，则对于满足条件的函数 $f(x)$ ，均有 $($
$\text{A.}$ $|f(0)|+|f(1)| \leqslant M$ ．
$\text{B.}$ $|f(0)|+|f(1)| \geqslant M$ ．
$\text{C.}$ $|f(0)|+|f(1)|=M$ ．
$\text{D.}$ $|f(0)|+|f(1)| \neq M$ ．
设 $0 < a < b$ ，下列选项正确的是
$\text{A.}$ $\ln \frac{b}{a}>\frac{2(b-a)}{a+b}$ ．
$\text{B.}$ $\ln \frac{b}{a} < \frac{2(b-a)}{a+b}$ ．
$\text{C.}$ $\ln \frac{b}{a}=\frac{2(b-a)}{a+b}$ ．
$\text{D.}$ $\ln \frac{b}{a}$ 与 $\frac{2(b-a)}{a+b}$ 的大小关系无法确定．
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续的二阶导数，满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$ ，且 $\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x=1$ ，证明：
（ I ） $\int_0^1\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leqslant 1$ ；
（II）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)+f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（积分第二中值定理）（1）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上非负、单调减少，且具有连续导数．证明：存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_a^b f(x) g(x) d x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) d x .
$$
（2）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上单调并具有连续导数．证明：存在 $\xi \in [a, b]$ ，使得
$$
\int_a^b f(x) g(x) d x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) d x+g(b) \int_{\xi}^b f(x) d x .
$$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：（1）存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2 \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)+f^{\prime}\left(\xi_2\right)=2$ ；
（2）存在 $\xi, \eta \in(0,1)$ ，使得 $\eta f^{\prime}(\xi)=f(\eta) f^{\prime}(\eta)$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且
$$
f^{\prime}(a)(b-a) < f(b)-f(a) < 2\left[f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)\right] .
$$
（1）记 $F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ，证明：存在 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $F\left(x_0\right)=$ 0；
（2）证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(0)=0, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\int_0^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\xi f(\xi)$.
设函数 $f(x), g(x)$ 均在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=g(0), f(1)=g(1)$ ，求证：存在 $\xi \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=g^{\prime}(\xi)+g^{\prime}(\eta)$ ．
证明：（1）$f(x), g(x)$ 均在 $[a, b]$ 上连续，则
$$
\left(\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^2 \leqslant \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x \cdot \int_a^b g^2(x) \mathrm{d} x
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且恒大于零，则 $1 \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]=1$ ．证明：
（1）存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\xi)-f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（2）存在 $\eta \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\eta)-2 f^{\prime}(\eta)+f^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负可导，$f(0)=2, f(1)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=1$ ．
（I）证明存在 $c \in(0,+\infty)$ ，有 $f(c)=2$ ；
（II）证明存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，有 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=4$ ．
设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^1 f(x) d x=0$ ，记 $a=\int_0^1 f(x) d x$ ．
（1）证明 $a>0$ ；
（2）令 $F(x)=a\left(1-x^2\right)+\int_1^x f(t) d t$ ，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$ 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 $(a>0)$ ，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，求证：存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ 。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，满足 $f(0)=0, f(1)=1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2, x \in[0,1]$ ，证明：
（I）当 $x \in[0,1]$ 时，恒有 $|f(x)-x| \leqslant \frac{1}{4}$ ；
（II）若 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)$ ，则当 $x \in[0,1]$ 时，恒有 $|f(x)| \leqslant 2 x-x^2$ ．