单选题 （共 28 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导,则 $f(|x|)$ 在点 $x=0$ 处可导的充分必要条件是（ ）.
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=0$
$\text{C.}$ $f(0)=0$ 且 $f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ $f(0)=0$ 或 $f^{\prime}(0)=0$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x^2 y^2+y=1(y>0)$ 所确定的函数, 则 ( ).
$\text{A.}$ $y(x)$ 有极小值, 但无极大值
$\text{B.}$ $y(x)$ 有极大值, 但无极小值
$\text{C.}$ $y(x)$ 既有极大值, 又有极小值
$\text{D.}$ $y(x)$ 无极值
已知 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(1)=1, f^{\prime}(1)=-1$, 则函数 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内( )
$\text{A.}$ 有极值点，无零点
$\text{B.}$ 无极值点, 有零点
$\text{C.}$ 有极值点, 有零点
$\text{D.}$ 无极值点, 无零点
设函数 $f(x)$ 连续, 给出下列四个条件
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在;
(3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在;
(4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在;
其中能得到 " $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导"的条件个数是( )
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 又 $f(0)=2 f(1)=f(2)=2$, 则
$\text{A.}$ $1 < \int_0^2 f(x) d x < 2$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{2} < \int_0^2 f(x) d x < \frac{5}{2}$.
$\text{C.}$ $2 < \int_0^2 f(x) d x < 3$.
$\text{D.}$ $3 < \int_0^2 f(x) d x < 4$.
已知函数 $\phi(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，函数 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处连续且 $\varphi(0)=1$ ，若 $f(x)=$ $\phi(x) \varphi(x)$ 与 $g(x)=\frac{\phi(x)}{\varphi(x)}$ 在 $x=0$ 处均可导，且 $f^{\prime}(0)=3, g^{\prime}(0)=1$ ，则 () ．
$\text{A.}$ $\phi(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{B.}$ $\phi(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
$\text{C.}$ $\phi^{\prime}(0)=3$
$\text{D.}$ $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处不可导
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，在 $x=0$ 的某去心邻域内可导，且极限 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$ 存在，下列说法正确的为（ ）。
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)+f(x)}{x}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{B.}$ 若 $\int_0^x f(t) d t$ 在 $x=0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(0)$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 不一定等于 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$
$\text{D.}$ 若 $f^{\prime}(0)$ 存在，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x^{\frac{1}{3}}}=0$
已知函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+ e ^{-2 t}\right), \\ y=2 t+\arctan e ^{-t}\end{array}\right.$ 确定，当 $x < \ln 2$ 时，函数 $y=y(x)(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 单调递增，且图形是凹的
$\text{B.}$ 单调递增，且图形是凸的
$\text{C.}$ 单调递减，且图形是凹的
$\text{D.}$ 单调递减，且图形是凸的
已知 $f(0)=-1$ ，导数 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-5,3]$ 上连续，曲线 $y=f^{\prime}(x)$ 与直线 $x=-5, x=3$ 及 $x$轴围成的图像如图所示，相应的面积分别为 $S_1=2, S_2=4, S_3=3$ ，记 $f(x)$ 在 $[-5,3]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M-m=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内三阶可导，则极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)-t f^{\prime}(t)}{\int_0^{\sqrt{t}} d x \int_{x^2}^t \sin \left(\sqrt{y} x^2\right) d y}=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $3 f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{B.}$ $-3 f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2} f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} f^{\prime \prime \prime}(0)$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，满足 $f^{\prime}(x) < f(x)$ ，且 $f(0)=1$ ，则
$\text{A.}$ $\int_0^1 f(x) d x < 1$
$\text{B.}$ $\int_0^1 f(x) d x>1$
$\text{C.}$ $\int_0^1 f(x) d x < e -1$
$\text{D.}$ $\int_0^1 f(x) d x> e -1$
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\int_0^1 e ^{x^2 t^2} d t, & x \leqslant 0, \\ \frac{1}{\left[\frac{1}{x}\right]}+ e ^{-x}, & x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处（
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
设函数 $f(x)=\sin x \cdot \ln \left(1+x^2\right)$ ，则 $f^{(5)}(0)=(\quad)$
$\text{A.}$ 80
$\text{B.}$ -80
$\text{C.}$ 50
$\text{D.}$ -50
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导，且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=2$ ，则下列说法不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极小值
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处不取拐点
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 的某左邻域内单调递减，某右邻域内单调递增
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内为凹函数
设 $\alpha=(\cos 2 x)^{x-\ln (1+x)}-1, \beta=\ln \frac{1+x^2}{1-x^3}, \gamma=\int_0^{\arcsin ^2 x} \frac{\sin \sqrt{t}}{2+t^2} d t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，三个无穷小的阶数由低到高的顺序为（）。
$\text{A.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{B.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{C.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
$\text{D.}$ $\gamma, \beta, \alpha$
设函数 $f(x)$ 连续可导，$f^{\prime \prime}(0)=2$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，$x+a x^3-\int_0^x f(t) \cos 2 t d t \sim 2 x^3$ ，且 $x=0$为 $f(x)$ 的极值点，则 $a=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{5}{3}$
设 $f(x)=(x-1)^{10} \sin x$ ，则 $f^{(11)}(1)=$
$\text{A.}$ $10!\cdot \cos 1$ ．
$\text{B.}$ $11!\cdot \cos 1$.
$\text{C.}$ $10!\cdot \sin 1$.
$\text{D.}$ $11!\cdot \sin 1$ ．
曲线 $x^3-y^3=3 x^2$ 的斜渐近线方程为
$\text{A.}$ $x+y-1=0$ ．
$\text{B.}$ $x+y+1=0$ ．
$\text{C.}$ $x-y+1=0$ ．
$\text{D.}$ $x-y-1=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，以下结论
（1）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在；
（2）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在；
（3）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=a \neq 0$ ，则 $f(x)$ 在 $x \rightarrow+\infty$ 时无界；
（4）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x \rightarrow+\infty$ 时有界。
正确的个数为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
（1）设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则下列命题正确的个数为（ ）。
（1）$|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处一定可导；
（2）$f(|x|)$ 在点 $x_0$ 处一定可导；
（3）$f(x)\left|x-x_0\right|$ 在点 $x_0$ 处一定可导；
（4） $\cos |f(x)|$ 在点 $x_0$ 处一定可导．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $a \neq 0$ ，则下列关于曲线 $l_1: y_1=\mathrm{e}^{a x}$ 和曲线 $l_2: y_2=\frac{1}{1+a x^2}+a x$ 的说法中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ 不论 $a$ 为何值，直线 $y=a x+1$ 必为 $l_1$ 与 $l_2$ 的公切线．
$\text{B.}$ 曲线 $l_1$ 与 $l_2$ 在点 $(0,1)$ 处的曲率半径与 $a$ 有关．
$\text{C.}$ 当 $a=2$ 时，$l_1$ 与 $l_2$ 在点 $(0,1)$ 处有相同的曲率与曲率圆．
$\text{D.}$ 当 $a=-2$ 时，$l_1$ 与 $l_2$ 在点 $(0,1)$ 处有相同的曲率与曲率圆．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域具有二阶连续导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)>0, f^{\prime \prime}(0) < 0$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $|f(x)|$ 的极值点，但 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
$\text{B.}$ $x=0$ 不是 $|f(x)|$ 的极值点，但 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $|f(x)|$ 的极值点，且 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
$\text{D.}$ $x=0$ 不是 $|f(x)|$ 的极值点，且 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=|f(x)|$ 的拐点．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(0,1)$ 单调递增时，$f(0)$ 是极小值
$\text{B.}$ 当 $f(0)$ 是极小值时，$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减时，在 $(0,1)$ 单调递增
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的时，$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增
$\text{D.}$ 当 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增时，$f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的
已知质点以恒定速率沿曲线运动时，向心加速度大小为 $\frac{V^2}{\rho}$ ，其中 $V$ 为质点的运动速率，$\rho$ 为曲率半径．现有三条曲线形光滑轨道 $O_i(i=1,2,3), O_i$ 的方程分别为（1）$x^2+y^2=2$ ，（2）$y=\frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2}$ ，（3）$y=\frac{1}{x}$ 。当单位质点以恒定速率 $v$ 沿着下列光滑轨道运动时，质点在点 $(1,1)$ 处受到的向心力大小 $F_i(i=1,2,3)$ 按从大到小的顺序为
$\text{A.}$ $F_1=F_3>F_2$ ．
$\text{B.}$ $F_2>F_1=F_3$ ．
$\text{C.}$ $F_3>F_1>F_2$ ．
$\text{D.}$ $F_1>F_2>F_3$ ．
设 $k>0$ ，函数 $f(x)=(x+k)^{\frac{2}{3}}-(x-k)^{\frac{2}{3}}+4$ 没有零点，则 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,4)$ ．
$\text{B.}$ $[0,4]$ ．
$\text{C.}$ $(4,+\infty)$ ．
$\text{D.}$ $[4,+\infty)$ ．
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\sin (x y)+\ln y-x=1$ 确定，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left[f\left(\frac{1}{n^2}\right)-\mathrm{e}\right]=$
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}$ ．
$\text{B.}$ $e(1-e)$ ．
$\text{C.}$ e．
$\text{D.}$ 2 e ．
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $x \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界
$\text{B.}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 为无穷大量
$\text{C.}$ $\int_0^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ 在 $(0,2026]$ 上无界
$\text{D.}$ $\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界
设 $y=x^3 \sin 2 x$ ，则 $y^{(20)}(x)$ 的表达式中 $x \sin 2 x$ 的系数为
$\text{A.}$ $2^{20} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{B.}$ $-2^{18} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{C.}$ $2^{18} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{D.}$ $-2^{20} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{c}x=\ln (1+2 t) \\ 2 t-\int_1^{y+t^2} e^{-u u^2} d u=0\end{array}\right.$ 确定, 则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=$
已知二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)-\ln \left(1+x^3\right)}{x-\tan x}=0, f(x+y)=f(x)+f(y)+$ $\frac{1}{2} y f^{\prime}(x)+\frac{1}{2} x f^{\prime}(y)$ ，则 $f(x)=$
$f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x^{2026}}$ ，则 $f^{(2026)}(0)=$
设函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2 f\left(\frac{2}{x}\right)=x^2-\frac{1}{x^2}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=$
设函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\operatorname{arccot} \mathrm{e}^{-t} \\ y=\ln \left(1+\mathrm{e}^t\right)\end{array}\right.$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}=$
函数 $f(x)=x^2 \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)(n \geqslant 3)=$