2024年河南省高级中等学校招生考试数学模拟试卷(第二套)

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2024年河南省高级中等学校招生考试数学模拟试卷(第二套)

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 下列各数中, 比 1 大的数是

A.

- 1

B.

\frac{1}{2}

C.

\sqrt{3}

D.

- 3

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2. 2023 年, 河南不断迸发新能量, 粮食产量为 1324.9 亿斤; 全国首个米字形高铁路网建成, 高铁运营里程达到 2215 千米; 全年接待游客 9.95 亿人次; 国家重点实验室达到 13 家, 国家级创新平台 172 家……其中的数据 “ 1324.9 亿” 用科学记数法表示为

A.

132.49 \times 10^{9}

B.

13.249 \times 10^{10}

C.

1.3249 \times 10^{11}

D.

0.13249 \times 10^{12}

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3. 古代中国的诸多技艺均领先世界水平, 即使到现代也依然让人叹为观止. 桻卯结构就是其中最为华丽的一种, 楎卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式. 凸出部分叫㻶(或桻宽、高分别相同, 且槥头的高度也相同, 关于它们的三视图, 下列描述正确的是

A.

主视图相同

B.

左视图相同

C.

俯视图相同

D.

三种视图都不相同

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4. 在一次折纸活动中, 某小组成员将一长方形纸条折叠成如图所示的图形, 若

∠ 1 = 40^{\circ}

, 则

∠ 2

的度数为

A.

115^{\circ}

B.

110^{\circ}

C.

105^{\circ}

D.

100^{\circ}

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5. 化简

\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{1 - x}

的结果是

A.

\frac{x + 1}{x - 1}

B.

C.

\frac{x - 1}{x + 1}

D.

-1

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6. 如果关于

x

的方程

x^{2} + 4 x - m = 0

有两个不相等的实数根, 则

m

的取值范围为

A.

m > - 4

B.

m < - 4

C.

m ⩾ - 4

D.

m ⩽ - 4

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7. 如图, 点

A, B, C

为

⊙ O

上的三个点, 如果

⊙ O

的半径为 5 , 锐角

∠ C

的正弦值为

\frac{3}{5}

, 则弦

A B

的长为

A.

B.

C.

D.

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8. 为落实《用好红色资源培育时代新人红色旅游助推铸魂育人行动计划(2023-2025 年)》, 某校积极开展红色研学精品课程建设,推动红色文化与日常教学有机融合. 目前该校已开发 “辉县人民干得好展览馆” “裴寨村” “太行红色文化教育基地” “南太行轿顶山红色抗战实物展览馆” 四个合作教育基地, 七年级(1) 班和(2)班准备从这四个基地中任选一个前往研学, 则这两个班研学地点相同的概率为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{1}{12}

D.

\frac{1}{16}

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9. 在平面直角坐标系中, 规定把一个几何图形先沿着

x

轴翻折, 再向右平移 1 个单位长度, 这个过程为 1 次变换. 如图, 矩形

O A B C

的顶点为

A (- 6, 0), C (0, 8)

, 点

M

是矩形

O A B C

的对称中心, 将矩形

O A B C

进行 1 次变换之后得到矩形

O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}

, 点

M

的对应点为

M_{1}

, 则将矩形

O A B C

进行 168 次变换之后, 点

M_{168}

的坐标为

A.

(165, 4)

B.

(165, - 4)

C.

(167, 4)

D.

(167, - 4)

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10. 如图 1, 在平行四边形

A B C D

中,

∠ B = 60^{\circ}

, 动点

P

从点

B

出发以

3 cm / s

的速度沿着边

B C \to C D \to

D A

运动, 到达点

A

后停止运动; 同时动点

Q

从点

B

出发, 以

1 cm / s

的速度沿着边

B A

运动, 到达点

A

后停止运动. 设点

P

的运动时间为

x (s), △ B P Q

的面积为

y ({cm}^{2})

, 已知

y

关于

x

的函数图象如图 2 所示, 则下列描述中错误的是

A.

运动过程中,

△ B P Q

的面积先增大再减小

B.

四边形

A B C D

为菱形

C.

a = 2 b

D.

a = 3 \sqrt{3}

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 2023 年 12 月 8 日, 济郑高铁全线通车, 线路全长

407 km

. 甲乘高铁从郑州前往济南, 若高铁平均行驶速度为

a km / h

, 行驶

t h

后, 甲距离济南还有

km.

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12. 不等式组

{\begin{cases} - 3 x + 2 ⩾ - 1, \\ \frac{3 x + 4}{2} > x \end{cases}

的解集为

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13. 种子是农业的“芯片”, 为了打好种业创新翻身仗,建设一流种业平台, 建设国家农业创新高地, 2022 年 4 月, 河南省人民政府印发《“中原农谷”建设方案》, 举全省之力在新乡打造种业创新高地. 某农科所响应号召, 大力开展对植物生长的研究, 该农科所在相同条件下进行某植物种子发芽率的试验,得到的结果如下表所示:

请根据以上数据, 估计 15000 个这种植物种子不发芽的约有 ________ 个

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14. 如图所示的

4 \times 4

网格中, 每个小正方形的边长均为 1 , 点

A, B, C, D

均在小正方形的顶点上, 连接

A C

和

B D

交于点

E

, 分别过点

A, E, B

和点

B, E, C

作弧形成如图所示的图案, 则图中阴影部分的面积为

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15. 在等边三角形

A B C

中,

D

为

△ A B C

内部一点, 且

D A = D B = D C, E

为

A B

边上一点, 且

A E = 3

. 当以

A, D, E

为顶点的三角形为直角三角形时,

△ A B C

的边长为

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. (1) 计算:

- 1^{2024} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt[3]{64}

.
(2) 化简:

(x + 3)^{2} - 2 x (3 + x) - 9

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17. 如图是由小正方形组成的

5 \times 8

网格, 每个小正方形的顶点叫做格点, 线段

A B

的两个端点都在格点上. 请仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图.
(1) 请在图 1 和图 2 中分别作出线段

A B

关于直线

l

的轴对称线段

C D

.
(2)线段

A B

绕某个点旋转一定的角度是否也能得到线段

C D

? 若能, 请分别在图 1 和图 2 中作出旋转中心

O

; 若不能, 请说明理由 (画图过程用虚线表示).

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18. 为加强劳动教育, 某校开辟了学稼园, 内设棑作区和伺养区,并把这两个区域划分为若干小块,分给七、八年级的各个班级负责. 某日,学校对各班劳动教育项目运作情况进行了一次评分, 现从七、八年级耕作区和伺养区各随机抽取 20 个项目, 并对其得分 (满分为 10 分)进行统计, 整理如下:

根据以上信息, 回答下列问题:
(1) 表格中

a =

b =

s_{1}^{2}

s_{2}^{2}

(填“>” “ < "或“ =”).
(2)该校七年级有 30 个班,八年级有 20 个班, 每班各负责 2 个耕作区项目,如果耕作区运作情况得分不低于 9 分,会被授予“示范项目”流动红旗,请你估计获得流动红旗的项目数量.
(3) 根据以上数据, 请分析哪个年级项目运作情况更好, 并说明理由.

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19. 如图, 反比例函数

y = \frac{k}{x} (k \neq 0)

的图象与过原点的直线交于

A (3, 1), B

两点,

C (0, 3)

为

y

轴上一点, 连接

A C, B C

.
(1) 请判断

A C

的中点

D

是否在该反比例函数的图象上.
(2) 在 (1) 的条件下, 连接

B D

交

y

轴正半轴于点

P

, 求点

P

的坐标.

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20. 爬楼机是新型的载物 (载人) 爬楼工具, 它利用本身配备的动作执行机构, 来实现上下楼动作, 进而完成上下楼的目的. 如图 1 , 这是某款爬楼机静止停放的示意图, 图 2 是该款爬楼机的侧面示意图, 车身

A B

与轮子

⊙ O

相切于点

B

, 轮子着地点为点

C (O C ⊥

地面

D C)

, 支架

A D

在使用时可以打开并坚直支撑于地面, 打开时, 支架

E F

与车身

A B

夹角为

30^{\circ}, E F ⊥ A D

, 垂足为

F

. 已知

A D = 66 cm, A B = 74 cm

, 求该款爬楼机轮子

⊙ O

的直径. (结果精确到

0.1 cm

. 参考数据:

\sin 15^{\circ} \approx 0.26, \cos 15^{\circ} \approx 0.97, \tan 15^{\circ} \approx 0.27, \sqrt{3} \approx 1.73)

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21. 北京时间 2023 年 10 月 26 日, 神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功! 神舟十七号截人飞船发射成功并对接中国空间站, 标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段. 某商店为了满足广大航天爱好者的需求, 购进

A, B

两种飞船模型进行销售, 经了解, 该商店销售的

A, B

两种飞船模型的单价之和为 35 元,

A

种飞船模型的单价比

B

种飞船模型单价的 2 倍少 10 元.
(1)求

A, B

两种飞船模型的单价.
(2)该商店为了促销让利, 给出了两种优惠方案, 购买时只能选择其中一种方案.
方案一: 所有飞船模型打八折销售;
方案二:全场购物每满 100 元立减 25 元现金(不足 100 元不减).
(1)若购买 15 个

A

种飞船模型和 10 个

B

种飞船模型, 则选择哪一种方案更省钱? 并说明理由.
(2)若购买

A

种飞船模型和 B 种飞船模型共 25 个,其中

A

种飞船模型不少于 2 个, 当选择方案一购买时, 本次购买最少花费

a

元, 请直接写出

a

的值.

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22. 如图, 抛物线

y = a x^{2} + b x + 3

交

x

轴于

A, B (1, 0)

两点, 交

y

轴于点

C

, 直线

y = m x + n

经过

B, D (- 4, - 5)

两点,点

D

在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式.
(2) 点

P

为直线

B D

上方抛物线上一个动点 (不与点

B, D

重合), 过点

P

作

P F ⊥ x

轴于点

F

, 交直线

B D

于点

Q

.
(1)求

P Q

的最大值;
(2)记抛物线上点

C

与点

P

之间的部分 (包含端点) 为图象

G

, 当图象

G

对应函数的最大值与最小值的差为 1 时, 请直接写出点

P

的横坐标

x_{P}

的取值范围.

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23. (1)【唤醒经历】
如图 1, 四边形

A B C D

是正方形, 点

E

是边

B C

的中点,

∠ A E F = 90^{\circ}

, 且

E F

交正方形外角的平分线

C F

于点

F

, 求证:

A E = E F

. (提示: 取

A B

的中点

G

, 连接

E G

)

上述为人教版数学教材八年级下册第 69 页第 14 题, 题中给出了问题的解决方法. 如果正方形

A B C D

的边长为 4 , 则

C F

的长为

(2)【应用经历】
如图 2, 四边形

A B C D

是矩形,

A B = 6, B C = 4

, 点

E

是边

B C

的中点,

∠ A E F = 90^{\circ}

, 且

E F

交矩形的外角平分线

C F

于点

F

, 求

C F

的长.

(3)【发展经历】
如图 3, 四边形

A B C D

是边长为 4 的菱形, 且

∠ B = 60^{\circ}

, 点

E

为边

B C

上一动点, 点

F

为边

C D

上一点, 且满足

∠ A E F = 60^{\circ}, E F

所在直线与

∠ B C D

相邻外角平分线所在直线交于点

G

. 若

C G = 2

, 请直接写出

B E

的长.

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