单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1}(n-1)$ !
$\text{B.}$ $(-1)^n(n-1)$ !
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} n$ !
$\text{D.}$ $(-1)^n n$ !
如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在
设 $I_k=\int_0^{k \pi} e^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_1\end{array}\right)$ ，其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P$ 为 3 阶可逆矩阵，且
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$
若 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) ， Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 $P\{X < Y\}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
将长度为 1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ -1
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 e^x ，$ 则 $f(x)=$
$\int_0^2 x \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x=$
$\left.\operatorname{grad}\left(x y+\frac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=$
设 $\Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\}$ ，则 $\iint_{\Sigma} y^2 \mathrm{~d} S=$
设 $\alpha$ 为三维单位列向量， $\boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵，则矩阵 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^T$ 的秩为
设 $A, B, C$ 是随机事件， $A$ 与 $C$ 互不相容， $P(A B)=\frac{1}{2}$, $P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(A B \mid \bar{C})=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明: $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{x^2}{2}(-1 < x < 1)$.
求函数 $f(x, y)=x e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$ 的极值.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^2+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.
已知曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=f(t) \\ y=\cos t\end{array}\left(0 \leq t < \frac{\pi}{2}\right)\right.$ ，其中函数 $f(t)$ 具有连续导数，且 $f(0)=0 ， f^{\prime}(t)>0\left(0 \leq t < \frac{\pi}{2}\right)$. 若曲线 $L$ 的切线与 $x$ 轴的交点到切点的距离恒为 1 ，求函数 $f(t)$ 的表达式，并求以曲线 $\boldsymbol{L}$ 与 $\boldsymbol{x}$ 轴与 $\boldsymbol{y}$ 轴为边界的区域的面积.
已知 $L$ 是第一象限中从点 $(0,0)$ 沿圆周 $x^2+x^2=2 x$ 到点 $(2,0)$ ，再沿圆周 $x^2+y^2=4$ 到点 $(0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分 $I=\int_L 3 x^2 y \mathrm{~d} x+\left(x^3+x-2 y\right) \mathrm{d} y$.
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right) ， \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$.
(1) 计算行列式 $|A|$;
(2) 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解，并求其通解.
已知
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & a \\
0 & a & -1
\end{array}\right) \text { ， 二次型 } \\
& f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T\left(A^T A\right) x
\end{aligned}
$$
的秩为 2
(1) 求实数 $a$ 的值;
(2) 求正交变换 $x=Q y$ 将 $f$ 化为标准形.
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
(1) 求 $P\{X=2 Y\}$ ；
(2) 求 $\operatorname{Cov}(X-Y, Y)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 与 $N\left(\mu, 2 \sigma^2\right)$ ，其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma>0$ ，设 $\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y}$ 。
(1) 求 $Z$ 的概率密度 $f\left(z ; \sigma^2\right)$ ；
(2) 设 $Z_1, Z_2, \cdots Z_n$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}^2$ ；
(3) 证明 $\hat{\sigma}^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计量.