1. 几位同学假期组成一个小组去某市旅游. 该市有 6 座塔, 它们的位置分别为 $A,B,C,D,E,F$.同学们自由行动一段时间后, 每位同学都发现, 自己在所在的位置只能看到位于 $A,B,C,D$处的四座塔, 而看不到位于 $E$ 和 $F$ 的塔. 已知
(1) 同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点, 且这些点彼此不重合;
(2) $A,B,C,D,E,F$ 中任意3点不共线;
(3) 看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡, 例如, 如果某位同学所在的位置 $P$和 $A,B$ 共线, 且 $A$ 在线段 $PB$ 上, 那么该同学就看不到位于 $B$ 处的塔.
请问, 这个旅游小组最多可能有多少名同学?

2. 小明玩战机游戏。初始积分为 2 。在游戏进行中, 积分会随着时间线性地连续减少(速率为每单位时间段扣除 1 )。游戏开始后, 每隔一个随机时间段(时长为互相独立的参数为 1 的指数分布), 就会有一架敌机出现在屏幕上。当敌机出现时, 小明立即进行操作, 可以僢间击落对方, 或者瞬间被对方击落。如被敌机击落, 则游戏结束。如小明击落敌机, 则会获得 1.5 个积分, 并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏, 或者继续游戏。如选择继续游戏, 则须等待到下一架敌机出现, 中途不能主动退出。游戏的难度不断递增: 出现的第 $n$ 架敌机,小明击落对方的概率为 $(0.85{)}^n$, 被击落的概率为 $1-(0.85{)}^n$, 且与之前的事件独立。在任何时刻, 如果积分降到 0 , 则游戏自动结束。

问题部分:
(1) 如果游戏中, 小明被击落后, 其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化, 小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?
(A) 1 .
(B) 2 .
(C) 3 .
(D) 4 .
(2) 假设游戏中, 小明被击落后, 其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化, 小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到 0 ), 下列哪一个选项最接近游戏结束时小明的期望积分?
(A) 2 .
(B) 4 .
(C) 6 .
(D) 8 .

3. 对于实数 $T>0$, 称欧氏平面 ${\mathbb{R}}^2$ 的子集 $\mathrm{\Gamma }$ 为 $T$-稠密的, 如果对任意 $v\in {\mathbb{R}}^2$, 存在 $w\in \mathrm{\Gamma }$ 满足 $\parallel v-w\parallel ⩽T$. 设 2 阶整方阵 $A\in {\mathrm{M}}_2(\mathbb{Z})$ 满足 $\det (A)\ne 0$.
(1) 假设 $\mathrm{tr}(A)=0$. 证明存在 $C>0$, 使得对任意正整数 $n$, 集合
$$A^n{\mathbb{Z}}^2:=\{A^{n}v:v\in {\mathbb{Z}}^2\}$$

是 $C|\det (A){|}^{n/2}$-稠密的.
（2）假设 $A$ 的特征多项式在有理数域上不可约. 证明与(1)相同的结论.
注: 这里 ${\mathbb{R}}^2$ 和 ${\mathbb{Z}}^2$ 中的向量约定为列向量, ${\mathbb{R}}^2$ 中的内积为标准内积, 即 $⟨v,w⟩=v^{t}w$.
(提示: 在对(2)的证明中, 可使用如下Minkowski凸体定理的特殊情形: ${\mathbb{R}}^2$ 中以原点为中心且面积为 4 的任意闭平行四边形中总包含 ${\mathbb{Z}}^2$ 中的非零向量.)

4. 设 $d\ge 0$ 是整数, $V$ 是 $2d+1$ 维复线性空间, 有一组基
$$\{v_1,v_2,\cdots ,v_{2d+1}\}\text{. }$$

对任一整数 $j(0\le j\le \frac{d}{2})$, 记 $U_j$ 是
$$v_{2j+1},v_{2j+3},\cdots ,v_{2d-2j+1}$$

生成的子空间. 定义线性变换 $f:V\to V$ 为
$$f\left(v_i\right)=\frac{(i-1)(2d+2-i)}{2}{v}_{i-1}+\frac{1}{2}{v}_{i+1},1\le i\le 2d+1.$$

这里我们约定 $v_0=v_{2d+2}=0$.
(1) 证明: $f$ 的全部特征值为 $-d,-d+1,\cdots ,d$.
(2) 记 $W$ 是从属于特征值 $-d+2k(0\le k\le d)$ 的 $f$ 的特征子空间的和. 求 $W\cap U_0$ 的维数.
(3) 对任一整数 $j(1\le j\le \frac{d}{2})$, 求 $W\cap U_j$ 的维数.

5. 对于 ${\mathbb{R}}^3$ 中的任何中心对称的凸多面体 $V$,证明可以找到一个椭球面 $E$, 把凸多面体包在内部,且 $E$ 的表面积不超过 $V$ 的表面积的 3 倍.

6. （1）假设有一枚硬币，投掷得到正面的概率为 $1/3$ 。独立地投掷该硬币 $n$ 次, 记 $X_n$ 为其中得到正面的次数。试求 $X_n$ 为偶数的概率在 $n$ 趋于无穷时的极限, 即:
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P\left(X_n\text{ 为偶数 }\right)$$
（2）某人在过年期间参加了集五福活动，在这项活动中此人每扫描一次福字，可以随机地得到五张福卡中的一张。假设其每次扫福得到五福之一的概率固定, 分别为 $p_i\in$ $(0,1),i=1,2,\cdots ,5(\sum _{i=1}^5{p}_i=1)$, 并假设其每次扫描得到的结果相互独立。在进行了 $n$ 次扫福之后, 记 $X_n^{(i)},i=1,2,\cdots ,5$ 为其得到每种福卡的张数。试求以下极限
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(X_{2n}^{(i)},i=1,2,\cdots ,5\text{ 全部为偶数 })$$

7. 有这么一个音乐盒, 它上面有一个圆形的轨道, 轨道上的一点处还有一棵开花的树。当音乐盒处于开启模式时, 音乐盒会发出音乐, 轨道会按照顺时针匀速转动。
你可以在轨道上放置象征恋人的两颗棋子, 我们不妨称它们为小红和小绿。当小红和小绿没有到达树下时, 它们就会在轨道上各自移动。当某一颗棋子到达树下时, 它就会在树下原地等待一段时间。此段时间内, 如果另外一颗棋子也达到了树下, 那么两颗棋子就会相遇, 之后在它们将随即一起顺着轨道移动, 不再分开; 否则, 等待时间结束, 两颗棋子将各自顺着轨道继续移动。
考虑这个音乐盆的数学模型。我们把这个圆形轨道参数化成一个周长为 1 的圆环, 我们认为棋子和树都可以用圆环上点表示。具体来说, 我们用 $X(t)\in [0,1]$ 和 $Y(t)\in [0,1]$ 分别表示 $t$时刻小红和小绿的在轨道上的位置坐标, 而树的坐标是 $\varphi =1$, 或者, 等价地, $\varphi =0$ 。
当他们都没有抵达树下时（见左图）, 他们的位置变化规律满足
$$\frac{d}{dt}X(t)=1,\frac{d}{dt}Y(t)=1.$$

假设在 $t_0$ 时刻, 小绿到达了树下 (见中图), 即 $Y\left(t_0\right)=1$, 它就会至多等待
$$\tau =K\left(X\left(t_0\right)\right)$$

的时间，换句话说，最长等待时间依赖于小红的当时的位置。
在等待期间, 小绿不动, 小红继续移动。如果等待期间的某时刻 $t^{\ast }\in (t_0,t_0+\tau ]$, 小红也达到了树下, 即 $X\left(t^{\ast }\right)=1$, 那么两棋子相遇。如果等待时间结束时（见右图）, 小红仍没有到达树下, 那么它们俩继续移动, 此时他们的位置分别是
$$X(t_0+\tau )=X\left(t_0\right)+\tau ,Y(t_0+\tau )=0.$$

注意，虽然小绿的坐标被重置了，但是它在圆环上的位置并没有变。
如果在某时刻小红到达树下, 它也会按照相同的规则等待, 最长等待时间取决于此时小绿的位置。显然, 小红小绿的命运取决于最长等待时间函数 $K(\varphi )$ 的形式。

(1) 我们设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是一个光滑函数, 满足
$$f^{\prime }>0,f^{\prime \prime }<0,f(0)=0,f(1)=1.$$

并设 $\epsilon$ 是一个充分小的正的常数。我们定义等待时间函数
$$K(\varphi )=f^{-1}(f(\varphi )+ϵ)-\varphi .$$
证明除了唯一的例外 (特定的初始距离) 之外, 无论小红和小绿的初始距离如何, 他们最终会相遇的。


(2) 我们考虑一个如下形式的 $f$ 函数
$$f(\varphi )=\frac{1}{b}\ln (1+(e^b-1)\varphi ),$$

这里 $b>0$ 是一个常数。当 $b\ll 1,\epsilon \ll 1$ 时, 请估算出相遇之前小红小绿走过的圈数的数量级。