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2024年中考数学压轴题系列



一、解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 如图, 点 C 在以 AB 为直径的 ⊙O 上. 将 ⊙O 沿直径 AB 对折, 点 C 落在 ⊙O 上的点 D 处, 分别连接 AC,CD,AD,A B 与 CD 交于点 E. 另有一动点 F 在 AD⏜ 上运动, 连接 CF 交 AB 于点 G, 交 AD 于点 H.
（1）当 CF 平分 ∠ACD 时.
①连结 BC, 求证: BC=BG.
②若 EG=EB, 求 CGAD 的值.
（2）当 CF⊥AD 时, 探究线段 AF 与 OE 的长度关系.
（3）如图2, 若点 F 运动到 CBD⏜ 上, AF 交 CD 于点 I, 求证: AC2−AI2=CI⋅DI.

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2. 如图所示, 在平面直角坐标系中, 函数 y=−2x+b 与 y=kx 的图象相交于 P,Q 两点, 已知点 P 的坐标为 (1,4).
（1）求函数 y=−2x+b 与 y=kx 的解析式；
（2）求点 Q 的坐标;
（3）求 △OPQ 的面积.

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3. 如图, 抛物线与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0) 两点, 且 x1>x2, 与 y 轴交于点 C(0,4), 其中 x1,x2 是方程 x2−2x−8=0 的两个根.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点 P 是线段 AB 上的动点, 过点 P 作 PE∥AC, 交 BC 于点 E, 连接 CP, 当 △CPE 的面积最大时, 求点 P 的坐标;
(3) 探究: 若点 Q 是抛物线对称轴上的点, 是否存在这样的点 Q, 使 △QBC 成为等腰三角形?若存在, 请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

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4. 如图, 已知抛物线 y=ax2+bx+2(a<0) 与 y 轴交于点 C, 与 x 轴交于 A(−1,0),B(2,0) 两点.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 若点 D 是第二象限抛物线上的动点, DE∥x 轴, 交直线 BC 于点 E, 点 G 在 x 轴上, 点 F 在坐标平面内. 是否存在点 D, 使以 D,E,F,G 为顶点的四边形是正方形? 若存在, 求点 D 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

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5. 已知抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A(−1,0),B(3,0) 两点, 与 y 轴交于点 C.
(1)求拋物线的解析式;
(2)如图 1, 抛物线的对称轴交 x 轴于点 M, 连接 BC、CM. 求 VBCM 的周长及 tan⁡∠BCM 的值;
(3)如图 2, 过点 A 的直线 m//BC, 点 P 是直线 BC 上方抛物线上一动点, 过点 P 作 PD⊥m, 垂足为点 D,连接 BD,CD,CP,PB. 当四边形 BDCP 的面积最大时, 求点 P 的坐标及四边形 BDCP 面积的最大值.

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