如图, 点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 上. 将 $\odot O$ 沿直径 $A B$ 对折, 点 $C$ 落在 $\odot O$ 上的点 $D$ 处, 分别连接 $A C, C D, A D, A$ $B$ 与 $C D$ 交于点 $E$. 另有一动点 $F$ 在 $\overparen{A D}$ 上运动, 连接 $C F$ 交 $A B$ 于点 $G$, 交 $A D$ 于点 $H$.
（1）当 $C F$ 平分 $\angle A C D$ 时.
①连结 $B C$, 求证: $B C=B G$.
②若 $E G=E B$, 求 $\frac{C G}{A D}$ 的值.
（2）当 $C F \perp A D$ 时, 探究线段 $A F$ 与 $O E$ 的长度关系.
（3）如图2, 若点 $F$ 运动到 $\overparen{C B D}$ 上, $A F$ 交 $C D$ 于点 $I$, 求证: $A C^2-A I^2=C I \cdot D I$.