如图, 已知抛物线 $y=a x^2+b x+2(a < 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$, 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0), B(2,0)$ 两点.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 若点 $D$ 是第二象限抛物线上的动点, $D E \| x$ 轴, 交直线 $B C$ 于点 $E$, 点 $G$ 在 $x$ 轴上, 点 $F$ 在坐标平面内. 是否存在点 $D$, 使以 $D, E, F, G$ 为顶点的四边形是正方形? 若存在, 求点 $D$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 若点 $D$ 是第二象限抛物线上的动点, $D E \| x$ 轴, 交直线 $B C$ 于点 $E$, 点 $G$ 在 $x$ 轴上, 点 $F$ 在坐标平面内. 是否存在点 $D$, 使以 $D, E, F, G$ 为顶点的四边形是正方形? 若存在, 求点 $D$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.