解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设正数 $x, y, z$ 满足 $2 x+2 y+z=1$, 求 $3 x y+y z+z x$的最大值.
已知 $a, b, c$ 为三个正实数, 求证:
$$
\sqrt{\frac{2}{3}+\frac{a b c}{a^3+b^3+c^3}}+\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{a b+b c+c a}} \geq 2 .
$$
问题: 设 $a, b, c, d \in R^{+}, a b c d=1$, 求证:
$$
\frac{1}{\sqrt{a b c+b c+c}}+\frac{1}{\sqrt{b c d+c d+d}}+\frac{1}{\sqrt{c d a+d a+a}}+\frac{1}{\sqrt{d a b+a b+b}} 2 .
$$
已知正整数 $x$ 满足 $\left\{\frac{x}{3}\right\}+\left\{\frac{x}{5}\right\}+\left\{\frac{x}{7}\right\}+\left\{\frac{x}{11}\right\}=\frac{248}{165}$,求 $\frac{2 x}{3}+\frac{2 x}{5}+\frac{2 x}{7}+\frac{2 x}{11}$ 的所有可能值.
已知正数 $a, b, c, d$ 满足 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$, 求证:
$$
\frac{a}{1+a+a b+a b c}+\frac{b}{1+b+b c+b c d}+\frac{c}{1+c+c d+c d a}+\frac{d}{1+d+d a+d a b} \leq 1 .
$$
已知 $a, b, c>0$, 求证:
$$
\frac{a^2+b^2+c^2}{a b+b c+c a} \geq \frac{1}{8}\left(1+\frac{2 a}{b+c}\right)\left(1+\frac{2 b}{c+a}\right)\left(1+\frac{2 c}{a+b}\right) \geq 1 .
$$
在实数范围内, 解方程: $\sqrt{10+x}+\sqrt{7-x}=5$
在实数范围内, 解方程:$\sqrt[4]{10+x}+\sqrt[4]{7-x}=3$
已知 $a^2+2 a b-b^2=1$, 求 $a^2+b^2$ 的最小值为
已知正实数 $x, y$ 满足 $x y^2(x+y)=4$, 求 $2 x+y$ 的最小值.
设 $a, b, c$ 是实数, 且满足 $a b c+a+b+c=a b+b c+$ $c a+5$.
求表达式 $a^2+b^2+c^2$ 的最小值.
设 $a, b, c$ 是 $\triangle A B C$ 的三边长, 求证:
$$
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} < 2 .
$$
设 $\triangle A B C$ 的三边长 $a, b, c$ 彼此不等, 且 $\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$. 求证: $\angle B$ 是锐角.
将正整数列中删除所有完全平方数, 得到数列 $\left\{a_n\right\}: 2,3,5,7,8, \cdots$, 求证:
$$
\left|a_n-n-\sqrt{n}\right| < \frac{1}{2}, \forall n \in N^* .
$$
设正实数 $a, b, c, d$ 满足 $\frac{a b}{c d}=\frac{a+b}{c+d}$, 求证: $(a+b)(c+d) \geq(a+c)(b+d) .$