填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $a_n, b_n>0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ 且 $\int_{\sin a_n}^{a_n} e^{x^2} \mathrm{~d} x=b_n \ln \left(1+b_n\right)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n^3}{b_n^2}=$
若 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\cos x-\frac{c+9 x^2}{c+4 x^2}$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，则 $c=$
设函数 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 附近由方程 $y+2 y^2+y^3=e^{-x}+x-1$ 所确定，且 $y=a x^2+b x^3+o\left(x^3\right)(x \rightarrow 0)$ ，则 $a+b=$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x+\cos x)^2} d x=$
设 $f(x)$ 连续且 $f(x+2)-f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ， 则
$$
\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=
$$
$\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \sqrt{1+y^2} \mathrm{~d} y+3 \int_0^1 \mathrm{~d} y \int_1^{\sqrt{2-y^2}} \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x=$
设 $f(x, y)$ 在 $(2,-2)$ 处可微，且满足:
$$
f(\sin x y+2 \cos x, x y-2 \cos y)=1+x^2+y^2+o\left(x^2+y^2\right)
$$
则曲面 $z=f(x, y)$ 过点 $(2,-2, f(2,-2))$ 处的切平面方程为
设 $D$ 是由曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及两坐标轴围成的平面薄片型零件，其密度函数为 $\rho(x, y)=3 \sqrt{x}+2 \sqrt{y}$ ，则该零件的质量为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2+k}-\frac{n}{3}\right]$.
设 $p$ 是某正整数， $I_n=\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}$ ，试求 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$.
设 $n$ 为给定的正整数， $[x]$ 表示 $x$ 的取整， $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin t \mathrm{~d} t=-\frac{1}{2} \pi \ln 2$. 计算
$$
I=\int_0^1[n x] \cdot \frac{\ln x+\ln (1-x)}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x .
$$
设 $x>0$ 时， $\left(1+x^2\right) f^{\prime}(x)+(1+x) f(x)=1 ， g^{\prime}(x)=f(x), f(0)=g(0)=0$.
证明: $\sum_{n=1}^{\infty} g\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$.
试求曲线 $\left(x^3+y^3\right)^2=x^2+y^2$ 所围的平面图形区域在第一象限部分的面积.
设函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内严格单调递增且可导， $x=f^{-1}(y)$ 为其反函数，
$$
\forall x, y>0, x y \leq \frac{1}{2}\left[x f(x)+y f^{-1}(y)\right] .
$$
求 $f(x)$ 的解析式.
一个底半径为 1 ，高为 6 的圆柱形水桶，在距离底部为 2 处有两个小孔，且两 个,小孔的连线与圆柱的轴线垂直相交，试问该水桶最多能盛多少水!