单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
若齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=0\end{array}\right.$ 有非零解，则 $\lambda=$
$\text{A.}$ 1 或 2
$\text{B.}$ －1 或－2
$\text{C.}$ 1 或一2
$\text{D.}$ －1 或 2 ．
已知 4 阶矩阵 $A$ 的第三列的元素依次为 $1,3,-2,2$ ，它们的余子式的值分别为 $3,-2,1,1$ ，则 $|A|=$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ -5
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ 3
设 $A 、 B$ 均为 $n$ 阶矩阵，满足 $A B=O$ ，则必有
$\text{A.}$ $|A|+|B|=0$
$\text{B.}$ $r(A)=r(B)$
$\text{C.}$ $A=O$ 或 $B=O$
$\text{D.}$ $|A|=0$ 或 $|B|=0$
设 $\beta_1, \beta_2$ 是非齐次线性方程组 $A X=b$ 的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是
$\text{A.}$ $\beta_1+\beta_2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}\left(3 \beta_1+2 \beta_2\right)$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}\left(\beta_1+2 \beta_2\right)$
$\text{D.}$ $\beta_1-\beta_2$
若二次型 $f=5 x_1^2+5 x_2^2+k x_3^2-2 x_1 x_2+6 x_1 x_3-6 x_2 x_3$ 的秩为 2 ，则 $k=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如果行列式 $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=2$ ，则
$$
\left|\begin{array}{lll}
-2 a_{11} & -2 a_{12} & -2 a_{13} \\
-2 a_{21} & -2 a_{22} & -2 a_{23} \\
-2 a_{31} & -2 a_{32} & -2 a_{33}
\end{array}\right|=
$$
设 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 3 & -1 & 2 \\ 6 & 8 & 1 & 2 \\ 3 & 9 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 3 & 2\end{array}\right|$ ，则 $A_{12}+A_{22}+A_{32}+A_{42}=$
设 $B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 0\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ ，且有 $A B C=E$ ，则 $A^{-1}=$
设齐次线性方程组 $\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 的基础解系含有 2 个解向量，则 $a=$
$ B$ 均为 5 阶矩阵，$|A|=\frac{1}{2},|B|=2$ ，则 $\left|-B^T A^{-1}\right|=$
设 $\alpha=(1,-2,1)^T$ ，设 $A=\alpha \alpha^T$ ，则 $A^6=$
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，则 $A^*$ 的一个特征值可表示为
若 $f=2 x_1^2+x_2^2+3 x_3^2+2 t x_1 x_2-2 x_1 x_3$ 为正定二次型，则 $t$ 的范围是
设向量 $\alpha=(2,1,3,2)^T, \beta=(1,2,-2,1)^T$ ，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角 $\theta=$
若 3 阶矩阵 $A$ 的特征值分别为 $1,2,3$ ，则 $|A+E|=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b & b & \cdots & a\end{array}\right|$
设 $A, B$ 均为 3 阶矩阵，且满足 $A B+E=A^2+B$ ，若矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求矩阵 $B$
已知向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}9 \\ 6 \\ -7\end{array}\right)$ 和
$\beta_1=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \beta_3=\left(\begin{array}{l}b \\ 1 \\ 0\end{array}\right) ;$ 已知 $\beta_3$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
与 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 具有相同的秩，求 $a, b$ 的值。
已知向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}2 \\ -5 \\ 3 \\ 6\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 4 \\ 8\end{array}\right), \alpha_5=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$
（1）求向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的秩以及它的一个极大线性无关组；
（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+2 x_3+3 x_4=1 \\ x_1+3 x_2+6 x_3+x_4=3 \\ x_1-5 x_2-10 x_3+9 x_4=a\end{array}\right.$
（1）$a$ 为何值时方程组有解（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）。
设矩阵 $P=\left(\begin{array}{cc}-1 & -4 \\ 1 & 1\end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ ，矩阵 $A$ 由关系式 $P^{-1} A P=D$ 确定，试求 $A^5$
将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。
已知 3 阶矩阵 $B \neq O$ ，且矩阵 $B$ 的列向量都是下列齐次线性方程组的解
$\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2-x_3=0 \\ 2 x_1-x_2+\lambda x_3=0, \\ 3 x_1+x_2-x_3=0\end{array}\right.$（1）求 $\lambda$ 的值；（2）证明：$|B|=0$ 。