单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
一个值不为零的 $n$ 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值
$\text{A.}$ 保持不变；
$\text{B.}$ 保持不为零；
$\text{C.}$ 保持相同的正、负号；
$\text{D.}$ 可以变为任何值．
下列公式正确的是
$\text{A.}$ $(A B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}$ ；
$\text{B.}$ $\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T$ ；
$\text{C.}$ $(A+B)^{-1}=B^{-1}+A^{-1}$ ；
$\text{D.}$ $(3 A)^{-1}=3 A^{-1}$
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $A B C=E$ ，则下列矩阵中为单位矩阵的是
$\text{A.}$ $A C B$ ；
$\text{B.}$ $C B A$ ；
$\text{C.}$ $B A C$ ；
$\text{D.}$ $B C A$ ．
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$r(A)=r < \min (m, n)$ ，则 $A$ 中必有
$\text{A.}$ 没有等于零的 $r-1$ 阶子式，至少有一个 $r$ 阶子式不为零；
$\text{B.}$ 有等于零的 $r$ 阶子式，没有不等于零的 $r+1$ 阶子式；
$\text{C.}$ 有不等于零的 $r$ 阶子式，所有 $r+1$ 阶子式等于零；
$\text{D.}$ 任何 $r$ 阶子式不等于零，任何 $r+1$ 阶子式等于零。
设向量组 $A:\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\right), B:\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \cdots, \alpha_{s+r}\right)$ ，则必有
$\text{A.}$ $A$ 线性相关 $\Rightarrow B$ 线性相关；
$\text{B.}$ $A$ 线性无关 $\Rightarrow B$ 线性无关；
$\text{C.}$ $B$ 线性相关 $\Rightarrow A$ 线性相关；
$\text{D.}$ $B$ 线性无关 $\Rightarrow A$ 线性相关．
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ -1 & 0 & 6\end{array}\right|=$
在五阶行列式中项 $a_{32} a_{43} a_{14} a_{51} a_{66} a_{25}$ 符号是 $\_\_\_\_$ ；（填＂正号＂或＂负号＂）
行列式中两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值等于
已知 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 $A^{-1}=$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 6\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right)$ ，则 $A+2 B=$
设 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -4 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -6 & 2\end{array}\right)$ ，则 $A B=$
若三阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵为 $A^*$ ，已知 $|A|=\frac{1}{2}$ ，求 $\left|(3 A)^{-1}-2 A^*\right|=$
已知向量组 $\alpha_1=(2,3,4,5)^T, \alpha_2=(3,4,5,6)^T, \alpha_3=(4,5,6,7)^T, \alpha_4=(5,6,7,8)^T$ ，则 $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算下列行列式：
（1）$\left|\begin{array}{cc}1 & \log _b a \\ \log _a b & 1\end{array}\right|$ ；
（2）$\left|\begin{array}{lll}0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0\end{array}\right|$ ；
（3）$\left|\begin{array}{llll}3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right|$ ．
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1\end{array}\right)$ ，求 $3 A B-2 A$ 及 $A^T B$
求解矩阵方程 $A X=A+X$ ，其中 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$
求向量组
$$
\alpha_1=(1,1,4,2)^T, \alpha_2=(1,-1,-2,4)^T, \alpha_3=(-3,2,3,-11)^T, \alpha_4=(1,3,10,0)^T
$$
的一个极大无关组．
求解齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+2 x_2+2 x_3+x_4=0 \\ 2 x_1+x_2-2 x_3-2 x_4=0 \\ x_1-x_2-4 x_3-3 x_4=0\end{array}\right.$
$\lambda$ 取何值时，方程组 $\left\{\begin{array}{c}-2 x_1+x_2+x_3=-2 \\ x_1-2 x_2+x_3=\lambda \\ x_1+x_2-2 x_3=\lambda^2\end{array}\right.$ 无解、有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=6 x_1^2+5 x_2^2+7 x_3^2-4 x_1 x_2+4 t x_1 x_3$ ．
（1）当 $t$ 取何值时，该二次型正定？
（2）取 $t=1$ ，用正交变换法将 $f$ 化成标准型，写出标准型及所用的正交变换
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ，证明 $\mathrm{R}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+\mathrm{R}(\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E})=n$ ．