单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
小球 $P$ 和 $Q$ 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，$P$ 球的质量大于 $Q$ 球的质量，悬挂 $P$ 球的绳比悬挂 $Q$ 球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放，在各自轨迹的最低点
$\text{A.}$ $P$ 球的速度一定大于 $Q$ 球的速度
$\text{B.}$ $P$ 球的动能一定小于 $Q$ 球的动能
$\text{C.}$ $P$ 球所受绳的拉力一定大于 $Q$ 球所受绳的拉力
$\text{D.}$ $P$ 球的向心加速度一定小于 $Q$ 球的向心加速度
用水平力 $F$ 拉一物体，使物体在水平地面上由静止开始做匀加速直线运动，$t_1$时刻撤去拉力 $F$ ，物体做匀减速直线运动，到 $t_2$ 时刻停止，其速度一时间图象如图所示，且 $\alpha>\beta$ ，若拉力 $F$ 做的功为 $W_1$ ，平均功率为 $P_1$ ；物体克服摩擦阻力 $F_{\mathrm{f}}$ 做的功为 $W_2$ ，平均功率为 $P_2$ ，则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $W_1>W_2, F=2 F_{\mathrm{f}}$
$\text{B.}$ $W_1=W_2, F>2 F_{\mathrm{f}}$
$\text{C.}$ $P_1 < P_2, F>2 F_{\mathrm{f}}$
$\text{D.}$ $P_1=P_2, F=2 F_{\mathrm{f}}$
多选题 （共 5 题 ），每题有多个选项正确
如图所示，一固定容器的内壁是半径为 $R$ 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为 $m$ 的质点 $P$ ．它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为 $W$ ．重力加速度大小为 $g$ ．设质点 $P$ 在最低点时，向心加速度的大小为 $a$ ，容器对它的支持力大小为 $N$ ，则
$\text{A.}$ $a=\frac{2(m g R-W)}{m R}$
$\text{B.}$ $a=\frac{2 m g R-W}{m R}$
$\text{C.}$ $N=\frac{3 m g R-2 W}{R}$
$\text{D.}$ $N=\frac{2(m g R-W)}{R}$
如图所示，以 $O$ 为原点在坚直面内建立平面直角坐标系：第IV象限挡板形状满足方程 $y=x^2-\frac{9}{4}$（单位： m ），小球从第II 象限内半径为 0.5 m 的四分之一光滑圆弧轨道某处由静止释放，通过 $O$ 点后开始做平抛运动，击中挡板上的 $P$ 点时速度最小，取重力加速度大小 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，下列说法正确的是
$\text{A.}$ $P$ 点的坐标为 $\left(1,-\frac{5}{4}\right)$
$\text{B.}$ 小球经过 $O$ 点时的速度大小为 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{C.}$ 小球击中 $P$ 点时的速度大小为 $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{D.}$ 小球经过 $O$ 点时对轨道的压力等于自身所受重力的 3 倍
如图所示，在坚直平面内有一粗糙程度处处相同的轨道，由水平 $A B$ 和四分之一圆弧 $B C$ 两部分相切构成。一质量为 $m_0$ 的物块从轨道 $A B$ 上的 $P$ 点以水平速度 $v_0$ 向左运动，恰好到达 $C$ 点，而后又刚好滑回到 $P$ 点。若换成质量为 $m$ 、材料相同的物块，仍从 $P$点以水平速度 $v_0$ 向左运动，物块均可视为质点，则
$\text{A.}$ 若 $m>m_0$ ，则物块也一定能到达 $C$ 点
$\text{B.}$ 若 $m < m_0$ ，则物块能越过 $C$ 点向上运动
$\text{C.}$ 无论 $m$ 多大，物块均能滑回到 $P$ 点
$\text{D.}$ 质量为 $m_0$ 的物块沿轨道向左、向右滑行过程中因摩擦产生的热量相等
如图为某商家为吸引顾客设计的趣味游戏。 4 块相同木板 $a 、 b 、 c 、 d$ 紧挨着放在水平地面上。某顾客使小滑块（可视为质点）以某一水平初速度从 $a$ 的左端滑上木板，若滑块分别停在 $a 、 b 、 c 、 d$ 上，则分别获得四、三、二、一等奖，若滑离木板则不得奖。已知每块木板的长度为 $L$ 、质量为 $m$ ，木板下表面与地面间的动摩擦因数均为 $\mu$ ，滑块质量为 $M=2 m$ ，滑块与木板 $a 、 b 、 c 、 d$ 上表面间的动摩擦因数分别为 $\mu 、 2 \mu 、 2 \mu$ 、 $4 \mu$ ，重力加速度大小为 $g$ ，最大静摩擦力与滑动摩擦力视为相等，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若木板全部固定于地面，要想获奖，滑块初速度 $v_0 \leq 3 \sqrt{2 \mu g L}$
$\text{B.}$ 若木板不固定，顾客获四等奖，滑块初速度的最大值 $v_0=\sqrt{\mu g L}$
$\text{C.}$ 若木板不固定，滑块初速度为 $v_1=3 \sqrt{\mu g L}$ ，顾客获三等奖
$\text{D.}$ 若木板不固定，顾客获得一等奖，因摩擦产生的总热量 $10 \mu m g L \leq Q \leq 28 \mu m g L$
为登月探测月球，上海航天局研制了＂月球车＂。某探究性学习小组对＂月球车＂的性能进行研究。他们让＂月球车＂在水平地面上由静止开始运动，并将＂月球车＂运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图所示的 $v-t$ 图像，已知 $0 \sim t_1$ 段为过原点的倾斜直线；$t_1 \sim 10 \mathrm{~s}$ 内＂月球车＂牵引力的功率保持与 $t_1$ 时刻相同不变，且 $P=1.2 \mathrm{~kW} ; 7 \sim 10 \mathrm{~s}$ 段为平行于横轴的直线；在 10 s 末停止遥控，让＂月球车＂自由滑行，整个过程中＂月球车＂受到的阻力大小不变。下列说法错误的是
$\text{A.}$ 月球车受到的阻力为 200 N
$\text{B.}$ 月球车的质量为 100 kg
$\text{C.}$ 月球车在 $t_1 \sim 7 \mathrm{~s}$ 内运动的路程为 24.75 m
$\text{D.}$ 全过程牵引力对月球车做的总功为 $1.11 \times 10^4 \mathrm{~J}$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在坚直平面内固定一轨道 $A B C O, A B$ 段水平放置，长为 $4 \mathrm{~m}, B C O$ 段弯曲且光滑；一质量为 1.0 kg 、可视作质点的圆环套在轨道上，圆环与轨道 $A B$ 段之间的动摩擦因数为 0.5 ．建立如图所示的直角坐标系，圆环在沿 $x$ 轴正方向的恒力 $F$ 作用下，从 $A(-7,2)$点由静止开始运动，到达原点 $O$ 时撤去恒力 $F$ ，圆环从 $O(0,0)$ 点水平飞出后经过 $D(6,3)$点．重力加速度 $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，不计空气阻力．求：
（1）圆环到达 $O$ 点时的速度大小；
（2）恒力 $F$ 的大小；
（3）圆环在 $A B$ 段运动的时间．
如图所示，点 $P$ 在水面上方 $h$ 高处，水缸的缸口离水面距离为 $H$ ，缸口的圆心为 $O$ 、半径为 $R$ ，点 $P$ 到缸口的水平距离为 $s 0$ 。在过 $O$ 点的坚直平面内，质量为 $m$ 的小球从 $P$ 点以不同初速度水平抛出，在下落到缸口高度前均能达到稳定状态。已知小球在水中运动过程中受到的浮力恒为 $F$ ，受到水的粘滞阻力 $f$ 与速度 $v$ 的关系为 $f=k v$（比例系数 $k$ 已知），方向与速度方向相反。不计空气阻力和缸口厚度，重力加速度为 $g$ 。
（1）求小球从被抛出后运动到水面过程中，重力做功的平均功率 $P$ ；
（2）小球平抛的初速度为 $v_1$ 时，从 $O$ 点进入缸内，求小球运动到 $O$ 点的过程中克服粘滞阻力做的功 $W$ ；
（3）要使小球能落到缸中，求平抛初速度 $v_0$ 的范围。
某传送装置的示意图如图 1 所示，整个装置由三部分组成，左侧为一倾斜直轨道，其顶端距离传送带平面的高度 $h_1=2.5 \mathrm{~m}$ ，其水平长度 $L_1=3.5 \mathrm{~m}$ 。中间是传送带其两轴心间距 $L_2=8 \mathrm{~m}$（传送带向右匀速传动，其速度 $v$ 大小可调），其右端为水平放置的圆盘。各连接处均在同一高度平滑对接。一质量为 $m=1 \mathrm{~kg}$ 的物块从倾斜直轨道的顶端由静止释放，物块经过传送带运动到圆盘上而后水平抛出，其中物块在圆盘上的运动轨迹为如图 2 中所示圆盘俯视图中的实线 $C D$ ，水平圆盘的半径为 5 m ，圆盘距离地面高度 $h_2=1.25 \mathrm{~m}$ 物块与倾斜直轨道和传送带间的动摩擦因数均为 $\mu_1=0.2$ ，与圆盘间的动摩擦因数 $\mu_2=0.5$ ，取重力加速度大小 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。
（1）若 $v=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，求物块通过水平传送带所需的时间 $t$ ；
（2）改变传送带的速度 $v$ 大小和方向，求物块从传送带右侧滑出时的速度 $v_C$ 大小的范围；
（3）若 $v=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 向右，物块沿弦 $C D$ 滑离圆盘，$C D$ 与过 $C$ 点的直径夹角为 $\theta$ 。求物块滑离圆盘落地时，落地点到 $C$ 的水平距离最大时对应的 $\cos \theta$ 值（保留 2 位有效数字）
某种弹射装置如图所示，左端固定的轻弹簧处于压缩状态且锁定，弹簧具有的弹性势能 $E_p=9 \mathrm{~J}$ ，质量 $m=2 \mathrm{~kg}$ 的滑块静止于弹簧右端，光滑水平轨道 $A B$ 的右端与倾角 $\theta=30^{\circ}$的传送带平滑连接，传送带长度 $L=12 \mathrm{~m}$ ，传送带以恒定速率 $v_0=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 顺时针转动。某时刻解除锁定，滑块被弹簧弹射后滑上传送带，并从传送带顶端滑离落至地面。已知滑块与传送带之间的动摩擦因数 $\mu=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，轻弹簧的自然长度小于水平轨道 $A B$ 的长度且滑块可视为质点，重力加速度 $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。
（1）求解除锁定后，滑块被弹簧弹出后的速度大小；
（2）求滑块在传送带上运动的过程中，摩擦力对滑块做的功 $W$ ；
（3）求由于传送滑块电动机多消耗的电能 $E$ ；
（4）若每次开始时弹簧装置具有不同的弹性势能 $E_{\mathrm{p}}^{\prime}$ ，要使滑块滑离传送带后总能落至地面上的同一位置，求 $E_{\mathrm{p}}^{\prime}$ 的取值范围。
如图所示，光滑半圆形轨道 $A B$ 坚直固定放置，轨道半径为 $R$（可调节），轨道最高点 $A$ 处有一弹射装置，最低点 $B$ 处与放在光滑水平面上足够长的木板 $Q$ 上表面处于同一高度，木板左侧 $x$ 处有一固定挡板 C（ $x$ 未知）。可视为质点的物块 $P$ 压缩弹射装置中的弹簧，使弹簧具有弹性势能 $E_p, P$ 从 $A$ 处被弹出后沿轨道运动到 $B$ 处时的速度大小始终为 $v_B=6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ；已知 $P$ 的质量 $m=1 \mathrm{~kg}, Q$ 的质量 $M=2 \mathrm{~kg}, P 、 Q$ 间的动摩擦因数 $\mu=0.3, Q$ 与 $C$ 之间的碰撞为弹性碰撞，忽略空气阻力，重力加速度 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。
（1）若 $P$ 恰好不脱离轨道，求轨道半径 $R$ 的值；
（2）若 $P$ 始终不脱离轨道，写出弹性势能 $E_p$ 与 $R$ 的关系式，并指出 $R$ 的取值范围；
（3）若 $Q$ 与 $C$ 恰好发生 $n$ 次碰撞后静止，求 $x$ 的值。
