单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x^2+b x+\arcsin x$ 与 $\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=1$
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-1$
$\text{D.}$ $a=\frac{2}{3}, b=1$
设 $y_1(x), y_2(x)$ 是某 2 阶非齐次线性微分方程的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使得 $2 \lambda y_1(x)+\mu y_2(x)$ 是该方程的解，$\lambda y_1(x)-2 \mu y_2(x)$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{5}, \mu=\frac{2}{5}$
$\text{B.}$ $\lambda=\frac{2}{5}, \mu=\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{1}{4}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{4}$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x-a z=\mathrm{e}^{y+a z}(a$ 是非零常数）确定，则（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$
设线密度为 1 的细直棒的两个端点分别位于点 $(-1,0)$ 和点 $(1,0)$ 处，质量为 $m$ 的质点位于点 $(0,1)$处，$G$ 为引力常量，则该细直棒对该质点的引力大小为
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{2 G m x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{2 G m}{\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{2 G m x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \frac{2 G m}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(0,1)$ 单调递增时，$f(0)$ 是极小值
$\text{B.}$ 当 $f(0)$ 是极小值时，$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减时，在 $(0,1)$ 单调递增
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的时，$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增
$\text{D.}$ 当 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增时，$f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的
已知函数 $f(x)=\int_1^{x^3} \frac{e^t}{1+t^2} d t, f$ 的反函数为 $g$ ，则
$\text{A.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{3}{2} e$
$\text{B.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{2}{3 e}$
$\text{C.}$ $g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{3}{2} e$
$\text{D.}$ $g(1)=0, g^{\prime}(1)=\frac{2}{3 e}$
设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq y \leq 1\}$ 上连续，且 $f(x, y)=f(y, x)$ ，则 $\iint_D f(x, y) d x d y=(\quad)$
$\text{A.}$ $2 \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=n+1-1}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{C.}$ $2 \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^{2 n+1-i} f\left(\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^L f\left(\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}\right) \frac{1}{n^2}$
单位矩阵经若干次互换两行得到的矩阵。设 $A$ 为 $n$ 阶置换矩阵， $\mid A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则
$\text{A.}$ $A^*$ 为置换矩阵
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 为置换矩阵
$\text{C.}$ $A^{-1}=A^*$
$\text{D.}$ $A^{-1}=-A^*$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b\end{array}\right)$ ．若存在矩阵 $B$ 满足 $A B=C$ ，则
$\text{A.}$ $a=-1, b=-1$
$\text{B.}$ $a=2, b=2$
$\text{C.}$ $a=-1, b=2$
$\text{D.}$ $a=2, b=-1$
设3阶矩阵 $A, B$ ，满足 $A B+B A=A^2+B^2$ ，则 $A \neq B$ ．则下列结论错误的是（
$\text{A.}$ $(A-B)^3=0$
$\text{B.}$ $A-B$ 只有零特征值
$\text{C.}$ $A, B$ 不能都是对角矩阵
$\text{D.}$ $A-B$ 只有一个线性无关的特征向量
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $p$ 为常数，若反带积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^p(x+1)} d x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
设 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x} -\frac{\ln (1+x)}{x \sin x}\right)=$
设曲线 $x^2+2 \sqrt{3} x y+y^2=1$ 在点 $(0,1)$ 处的曲率半径为
已知函数 $f(x, y)$ 可微，且 $d f(0,0)=\pi d x+3 d y$ ，记 $g(x)=f(\ln x, \sin \pi x)$ ，则 $g^{\prime}(1)=$
函数 $f(x)=\ln (2+x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3 a\end{array}\right)$ ，若二次型 $x^T\left(A A^T\right) x$ 的规范形为 $y_1^2$ ，则 $a+b=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $I=\int_{-1}^1 d x \int_{|x|}^{\sqrt{2-x^2}} y \sin \sqrt{x^2+y^2} d y$ ．
己知函数 $g(x)$ 连续，$f(x)=\int_0^{x^2} g(x t) d t$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式，并判断 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性
求函数 $f(x, y)=\left(2 x^2-y^2\right) e^x$ 的极值．
已知 $M\left(x_0, y_0\right)$ 是曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x \geq 0)$ 的拐点，$O$ 为坐标原点，记 $D$ 是第一象限中以曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}\left(x \geq x_0\right)$ ，线段 $O M$ 及 $x$ 正半轴为边界的无界区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴疋转所成族转体的体积。
求微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-\left(y^{\prime}\right)^2=0(x>2)$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=3}=\frac{1}{2},\left.y^{\prime}\right|_{x=3}=-9$ 的解．
已知向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1 \\ -1\end{array}\right), \quad \alpha_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \quad \alpha_3=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \quad \alpha_4=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ ，记 $A\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ ， $G=\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$.
（1）证明：$\alpha_1, \alpha_2$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组；
（2）求矩降 $H$ 使得 $A=G H$ ，并求 $A^{10}$ 。