单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
下列各函数中哪个可以做随机变量的分布函数 $\_\_\_\_$
$\text{A.}$ $F(x)=\frac{1}{1+x^2}$
$\text{B.}$ $F(x)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2 \pi} \arctan x$
$\text{C.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x < -1 \\ \frac{x^3}{2}+1, & -1 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $F(x)=e^{-e^{-x}}$
$F(x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数，则下列仍为分布函数的是 $\_\_\_\_$
$\text{A.}$ $F(2 x-1)$
$\text{B.}$ $F(1-x)$
$\text{C.}$ $F\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $1-F(-x)$
设 $X \sim B(2, p), Y \sim B(4, p)$ ，且 $P\{X \geq 1\}=\frac{5}{9}$ ，则 $P\{Y \geq 1\}=$
$\text{A.}$ $\frac{65}{81}$
$\text{B.}$ $\frac{16}{81}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{4}{7}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$ ，则下列函数中一定可以作为概率密度的是
$\text{A.}$ $f(2 x)$ ．
$\text{B.}$ $2 f(x)$ ．
$\text{C.}$ $|f(-x)|$ ．
$\text{D.}$ $f(|x|)$ ．
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若某随机变量的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}a+b e^{-3 x}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & 0 \leq x < 1 \\ 1-e^{-x}, & x \geq 1\end{array}\right.$, $ \text { ，则 } P\{X=1\}=$
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x < 0 \\ A \sin x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 1, x>\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$ ，则 $A=$ $\_\_\_\_$ ,$P\left\{|X| < \frac{\pi}{6}\right\}=$
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设一汽车在开往目的地的道路上需经过 4 组信号灯，每组信号灯以 $\frac{1}{2}$ 的概率允许或禁止，汽车以 $X$ 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求 $X$ 的分布律．
设随机变量 $X$ 的分布律为：
求 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ，并求 $P\left\{\frac{3}{2} < X \leq \frac{5}{2}\right\}, P\{2 \leq X \leq 3\}$ ．
一袋中有 5 只乒乓球，编号为 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$ ，在其中同时取三只，以 $X$ 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 $X$ 的分布律．
设离散型随机变量 $X$ 的分布列为 $P\{X=k\}=b \cdot 2^{-k}, k=1,2,3, \cdots$ ，求
（1）常数 $b$ ：
（2）$P\{X>2\}$
一大楼装有 5 个同类型的供水设备，各台设备是否使用相互独立．调查表明在任一时刻 $t$ 每个设备使用的概率为 0.1 ，问在同一时刻
（1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？
（2）至少有 1 个设备被使用的概率是多少？
设随机变量 $X_1$ 服从 $B(1, p), X_2$ 服从参数为 $B(n, p), Y \sim P(2 p)$ ．已知 $X_1$ 取 0 的概率是 $X_2$ 取 0 的概率的 9 倍，$X_1$ 取1的概率是 $X_2$ 取1的概率的 3 倍，则 $P\{Y=0\}=$ $\_\_\_\_$ ；$P\{Y=1\}=$ $\_\_\_\_$
设随机变量 $X$ 具有概率密度 $f(x)=\left\{\begin{array}{lc}k x, & 0 \leq x < 3 \\ 2-\frac{x}{2}, & 3 \leq x \leq 4 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$
（1）确定常数 $k$ ；
（2）求 $X$ 的分布函数；
（3）$P\left\{1 < X \leq \frac{7}{2}\right\}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}, Y\right.$ 表示三次独立重复试验中事件 $\left\{X \leq \frac{1}{2}\right\}$ 的次数，求 $P\{Y=2\}$ ．
设电阻值 $R$ 是一个随机变量，均匀分布在 900 欧姆至 1100 欧姆．求 $R$ 的概率密度及 $R$ 落在 950 欧姆至 1050 欧姆的概率．
设元件的寿命 $T$（以小时计）服从指数分布，分布函数为 $F(t)=\left\{\begin{array}{lr}1-e^{-0.03 t}, & t>0, \\ 0, & t \leq 0 .\end{array}\right.$ ．已知元件至少工作了 30 小时，求它能再至少工作 20 小时的概率．
某人由于工作的原因，需要从上海的浦东乘车去松江上班，现在有两条路线供他选择，第一条线路是直接穿过市区，虽路程较短但交通较为拥挤，其所需时间服从的是正态分布 $N(50,100)$ ；而第二条路线是沿着外环公路走，虽路程较长但交通很少阻塞，其所需时间是服从正态分布 $N(60,16)$ ．现问：
（1）假设他有 70 分钟的时间可用，他应该选择走哪一条路线？
（2）假设他有 65 分钟的时间可用，他又应该选择走哪一条路线？
某人上班地点离家仅一站路，他在公共汽车站候车时间为 $X(\min ), X \sim E(0.25)$ ，他每天要在车站候车 4 次，每次若候车时间超 5 min ，他就改为步行，求甲在一天内步行次数恰好是 2 次的概率．
若随机变量 $X$ 服从均值为 2、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，且 $P\{2 < X < 4\}=0.3$ ，则
$$
P\{X < 0\}=
$$
已知随机变量 $X$ 的分布函数 $F_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x \leqslant 1, \\ 1-x^{-\lambda,} & x>1\end{array}(\lambda>0), Y=\ln X\right.$
（1）求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ ；
（2）计算 $\sum_{k=0}^{\infty} P\{Y \geq k\}$ ．
已知随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，求
（1）$Y=\left\{\begin{array}{cc}-1, & X < 1 \\ 1, & X \geqslant 1\end{array}\right.$ 的分布函数；
（2）$Y=\mathrm{e}^X$ 的概率密度
设随机变量 $X$ 的密度函数为：$f(x)=a e^{-|x|},-\infty < x < +\infty$ ，求：
（1）常数 $a$ ；
（2）$P(0 < X \leq 1)$ ；
（3）$X$ 的分布函数．
设随机变量 $X$ 与 $-X$ 服从同一均匀分布 $U(a, b)$ ，已知 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 的平方 $f^2(x)$ 也是概率密度，则 $b=$
已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则概率 $P\left\{\max \left(X, \frac{1}{X}\right) \leqslant 2\right\}$
已知随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，求 $Y=|X|$ 的概率密度．（结果可以用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示）