解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试证明下列积分收敛：
（1）$I=\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} \arctan x \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（2）$I=\int_0^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x+1}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x$ ．
（3）$I=\int_1^{+\infty} \frac{x \cos x}{x^p+x^q} \mathrm{~d} x(\max \{p, q\}>1)$ ．
判别下列积分的绝对收敛性：
（1）$I=\int_1^{+\infty} x \cdot \sin x^4 \cdot \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（2）$I=\int_0^{+\infty} \sin ^3\left(x^2+2 x\right) \mathrm{d} x$ ．
判定瑕积分 $I=\int_0^1 \frac{\ln x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x$ 的敛散性及求其值．
计算下列瑕积分的值：
（1）$I=\int_{-1}^1 \frac{\mathrm{~d} x}{(a-x) \sqrt{1-x^2}}(a>1)$ 。
（2）$I=\int_a^b \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$ ．
（3）$I=\int_0^a \frac{\mathrm{~d} x}{x|\ln x|^p}(0 < a < 1)$ ．
判别下列积分的敛散性：
（1）$I=\int_0^1 \frac{\ln \left(1+\sqrt[3]{x^2}\right)}{\sqrt{x} \sin \sqrt{x}} \mathrm{~d} x$.
（2）$I=\int_0^2 \frac{\sqrt{x} \mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^{\sin x}-1}$ ．
（1）$I=\int_0^1 \frac{\sin x}{x^p} \mathrm{~d} x(1 < p < 2)$ ．
（2）$I=\int_0^1 \frac{\cos \frac{1}{1-x} \cdot \arctan \sqrt{1-x}}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
判别下列积分的收敛性：
（1）$I=\int_0^{1 / 2} x^{p-1}|\ln x|^q \mathrm{~d} x$ ．
（2）$I=\int_0^1 \frac{\cos (1 /(1-x))}{\sqrt[p]{1-x^2}} \mathrm{~d} x$ ．
试判别下列积分的敛散性：
（1）$I=\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^p}$ ．
（2）$I=\int_0^{+\infty} \frac{x^\alpha \sin x}{1+x^\beta} \mathrm{d} x(\beta>0)$ ．