单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
若函数 $y=(x+1) e ^x-a$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left\{a \left\lvert\,-\frac{1}{ e ^2} < a < 0\right.\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{a|a\rangle-\frac{1}{ e ^2}\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{a \mid- e ^2 < a < 0\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{a \mid 0 < a < e ^2\right\}$
当 $x \in[-2,1]$ 时，不等式 $a x^3-x^2+4 x+3 \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $[-5,-3]$
$\text{B.}$ $\left[-6,-\frac{9}{8}\right]$
$\text{C.}$ $[-6,-2]$
$\text{D.}$ $[-4,-3]$
某一导体的伏安特性曲线如图中AB段(曲线)所示，以下关于导体的电阻说法正确的是
$\text{A.}$ B点对应的电阻为12 Ω
$\text{B.}$ B点对应的电阻为40 Ω
$\text{C.}$ 工作状态从A变化到B时，导体的电阻因温度的影响改变了1 Ω
$\text{D.}$ 工作状态从A变化到B时，导体的电阻因温度的影响改变了9 Ω
在我国边远乡村的电路上常用熔断保险丝．当电路中有较强电流通过时，保险丝会快速熔断，及时切断电源，保障用电设备和人身安全。经测量，有一段电阻为 $R$ 、熔断电流为 2 A 的保险丝，直径约 0.5 毫米．若将这段保险丝对折后绞成一根，那么保险丝的电阻和熔断电流将变为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4} R 、 4 A$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} R 、 4$ A
$\text{C.}$ $\frac{1}{4} R, 0.5 A$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} R, 1$ A
电阻 $R_1 、 R_2$ 的 $I-U$ 图像如图所示，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $R_1: R_2=3: 1$
$\text{B.}$ 将 $R_1$ 与 $R_2$ 串联后接于电源上，则电压比 $U_1: U_2=$ 1：3
$\text{C.}$ 将 $R_1$ 与 $R_2$ 并联后接于电源上，则电流比 $I_1: I_2=$ $1: 3$
$\text{D.}$ 将 $R_1$ 与 $R_2$ 并联后接于电源上，则功率比 $P_1: P_2=1: 3$
如图所示，同种材料制成且厚度相等的长方体合金块A和B，上表面为正方形，边长之比为2∶1.A、B分别与同一电源相连，电源内阻忽略不计，则
$\text{A.}$ 通过A、B的电流之比为2∶1
$\text{B.}$ 通过A、B的电流之比为1∶2
$\text{C.}$ A、B中自由电荷定向移动速率之比为2∶1
$\text{D.}$ A、B中自由电荷定向移动速率之比为1∶2
如图所示为示波器衰减电路的示意图，ab之间为信号电压的输入端，cd为衰减电路的输出端，P是和衰减旋钮固连在一起的开关，R1、R2、R3、R4为四个定值电阻，当P接通1时电压没有被衰减，当P分别接通2、3、4时电压被衰减10倍、100倍、1 000倍(即输出电压变为输入电压的0.1、0.01、0.001)，若某个示波器的衰减电路中，R4＝1 Ω，不计导线电阻，则其他电阻的阻值分别为
$\text{A.}$ R1＝900 Ω，R2＝90 Ω，R3＝9 Ω
$\text{B.}$ R1＝999 Ω，R2＝99 Ω，R3＝9 Ω
$\text{C.}$ R1＝10 Ω，R2＝100 Ω，R3＝1 000 Ω
$\text{D.}$ R1＝1 000 Ω，R2＝100 Ω，R3＝10 Ω
一根横截面积为 $S$ 的铜导线，通过电流为 $I$ ．已知铜的密度为 $\rho$ ，铜的摩尔质量为 $M$ ，电子电荷量为 $e$ ，阿伏加德罗常数为 $N_{ A }$ ，设每个铜原子只提供一个自由电子，则铜导线中自由电子定向移动速率为
$\text{A.}$ $\frac{M I}{\rho N_{ A } S e}$
$\text{B.}$ $\frac{M I N_{ A }}{\rho S e}$
$\text{C.}$ $\frac{I N_{ A }}{M \rho S e}$
$\text{D.}$ $\frac{I N_A S e}{M \rho}$
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
己知函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ ，则
$\text{A.}$ $f(2)>f(5)$
$\text{B.}$ 若 $f(x)=m$ 有两个不相等的实根 $x_1 、 x_2$ ，则 $x_1 x_2 < e^2$
$\text{C.}$ $\ln 2>\sqrt{\frac{2}{e}}$
$\text{D.}$ 若 $2^x=3^y, x, y$ 均为正数，则 $2 x>3 y$
恒流源是一种特殊的电源，其输出的电流能始终保持不变；恒压源也是一种特殊的电源，其输出的电压能始终保持不变.图甲所示的电路中电源是恒流源，图乙所示的电路中电源是恒压源，两图中的滑动变阻器滑动触头P均从最右端向最左端移动时，下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 图甲中R1两端的电压减小
$\text{B.}$ 图乙中R1两端的电压减小
$\text{C.}$ 图甲中流过R2的电流保持不变
$\text{D.}$ 图乙中流过R2的电流保持不变
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $x=x_1$ 和 $x=x_2$ 分别是函数 $f(x)=2 a^x- e x^2(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的极小值点和极大值点．若 $x_1 < x_2$ ，则 $a$ 的取值范围是
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\frac{e^x}{x}-\ln x+x-a$ ．
（1）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）证明：若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2$ ，则环 $x_1 x_2 < 1$ ．
已知函数 $f(x)=x_{ e }{ }^{a x}- e ^x$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $x>0$ 时，$f(x) < -1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（3）设 $n \in N^*$ ，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}>\ln (n+1)$ ．
己知函数 $f(x)=x(1-\ln x)$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a-a \ln b=a-b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a}+\frac{1}{b} < e$ ．
已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{a}{x}(a \in R )$ 有两个零点．
（1）证明： $0 < a < \frac{1}{ e }$ ．
（2）若 $f(x)$ 的两个零点为 $x_1, x_2$ ，且 $x_1 < x_2$ ，证明： $2 a < x_1+x_2 < 1$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{\ln x+a x}{ e ^x}, a \in R$ ．
（1）若函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极值 1 ，其中 $\ln 2 < x_0 < \ln 3$ ．
证明： $2-\frac{1}{\ln 2} < a < 3-\frac{1}{\ln 3}$ ；
（2）若 $f(x) \leqslant x-\frac{1}{ e ^x}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
若对任意 $x \in(0,+\infty)$ ，不等式 $2 x+\ln x \leqslant a\left(x^2+x\right)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{2} x^2-a x\right) \ln x-\frac{1}{2} x^2+\frac{3}{2} a x$ ．
（1）讨论函数 $f(x)$ 的极值点；
（2）若 $f(x)$ 极大值大于 1 ，求 $a$ 的取值范围．
己知函数
$$
f(x)=\frac{1+\ln (x+1)}{x+1}
$$
（1）求函数 $y=f(x)$ 的最大值；
（2）令 $g(x)=(x+1) f(x)-(a-2) x+x^2$ ，若 $g(x)$ 既有极大值，又有极小值，求实数 $a$ 的范围；
（3）求证：当 $n \in N^*$ 时， $\ln (1+1)+\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\cdots+\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) < 2 \sqrt{n}$ ．