己知函数
$$
f(x)=\frac{1+\ln (x+1)}{x+1}
$$
（1）求函数 $y=f(x)$ 的最大值；
（2）令 $g(x)=(x+1) f(x)-(a-2) x+x^2$ ，若 $g(x)$ 既有极大值，又有极小值，求实数 $a$ 的范围；
（3）求证：当 $n \in N^*$ 时， $\ln (1+1)+\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\cdots+\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) < 2 \sqrt{n}$ ．