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已知函数 $f(x)=x_{ e }{ }^{a x}- e ^x$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $x>0$ 时，$f(x) < -1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（3）设 $n \in N^*$ ，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}>\ln (n+1)$ ．
                        
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