解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $V$ 是实数域上全体函数对于函数的加法与数乘函数的运算所构成的线性空间，试证：向量组：$f(x)= e ^{2 x}, g(x)=x^2, h(x)=x$ 线性无关。
设 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 是线性空间 $V^n$ 的一组基，又向量组 $\beta _1$ ， $\beta _2, \cdots, \beta _n$ 由向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 表出的关系是
$$
\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right) \cdot C
$$
则 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 也是 $V^n$ 的一组基的充分必要条件为矩阵 $C$ 可逆。
定义在实数域上次数 $ < 3$ 的多项式空间 $P[x]_3$ 中，试证：$f_1=$ $1, f_2=x-1, f_3=(x-2)(x-1)$ 是 $P[x]_3$ 的一组基，并求向量 $f=3 x^2-7 x$ ． +6 在 $f_1, f_2, f_3$ 下的坐标列向量．
设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 是线性空间 $V^3$ 的一组基又
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ \xi _ { 1 } = \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 3 } } \\
{ \xi _ { 2 } = \varepsilon _ { 2 } } \\
{ \xi _ { 3 } = \varepsilon _ { 1 } + 2 \varepsilon _ { 2 } + 2 \varepsilon _ { 3 } }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
\eta_1=\varepsilon_1 \\
\eta_2=\varepsilon_1+\varepsilon_2 \\
\eta_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3
\end{array}\right.\right.
$$
（1）试证 $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 及 $\eta _1, \eta _2, \eta _3$ 都是 $V^3$ 的一组基．
（2）求由基 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 到基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 的过渡矩阵．
在 $R ^3$ 中，子集 $W=\left\{\left(a_1, a_2, 0\right)^{ T } \mid a_1, a_2 \in k\right\}$ 能否成为 $R ^3$ 的子空间？
在 $R ^3$ 中，子集 $W=\left\{\left(a_1, a_2, a_3\right)^{ T } \mid a_1 \geqslant 0\right\}$ 能否成为 $R ^3$ 的一个子空间？
定义在实数域上的全体 $n$ 阶方阵所构成的线性空间 $M_n( R )$中，由全体 $n$ 阶上三角矩阵所构成子集 $W$ ，能否成为 $M_n( R )$ 的一个子空间？
在由实数域 $R$ 到实数域 $R$ 的所有函数构成的线性空间 $V$ 中，子集 $W=\{f(x) \mid f(5)=f(2)\}$ 是否为子空间？
已知 $R ^3$ 上一个线性变换 $\sigma$ 为
$$
\sigma\left(x_1, x_2, x_3\right)^{T}=\left(x_1+x_2+x_3, x_2+x_3, x_3\right)^{T}
$$
$\forall\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T } \in R ^3$ ．试证 $\sigma$ 为可逆变换，并求 $\sigma^{-1}$ 。
设 $\sigma, \tau, \rho$ 均是线性空间 $V$ 的线性变换．若 $\sigma \tau=\tau \sigma$ ，我们称线性变换 $\sigma$ 与 $\tau$ 可交换．试证：（1）若 $\sigma, \tau$ 都与 $\rho$ 可交换，则 $\sigma \tau, \sigma^2$ 也与 $\rho$ 可交换；（2）若 $\sigma$ 与 $\rho$ 可交换，且 $\sigma$ 可逆，则 $\sigma^{-1}$ 与 $\rho$ 也可交换．
设 $R ^3$ 中线性变换 $\sigma$ 的定义如下：$\sigma\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }=\left(2 x_1-\right.$ $\left.x_2, x_2-x_3, x_2+x_3\right)^{ T }$ ．求 $\sigma$ 在自然基： $\varepsilon _1=(1,0,0)^{ T }, \varepsilon _2=(0,1,0)^{ T }$ ， $\varepsilon _3=(0,0,1)^{ T }$ 下的对应矩阵。
在 $R ^2$ 中，求一个线性变换 $\sigma$ ，使 $\sigma(1,2)^{ T }=(2,3)^{ T }, \sigma(0,1)^{ T }=$ $(1,4)^{ T }$ ．并求 $\sigma(3,4)^{ T }$ ．
设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个一维向量空间，试证 $V$ 到自身的映射 $\sigma$ 是线性变换的充分必要条件是对 $\forall \alpha \in V$ ，都有 $\sigma( \alpha )=\lambda \alpha$ ，其中 $\lambda$ 是 $F$ 中一个常数。