单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
要得到函数 $y=\sqrt{3} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+1$ 的图象，只需将函数 $y=\sqrt{3} \cos \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象（ ）
$\text{A.}$ 先向右平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
$\text{B.}$ 先向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
$\text{C.}$ 先向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
$\text{D.}$ 先向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
要得到函数 $y=\cos \left(\frac{\pi}{2} x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，只需将函数 $y=\cos \left(\frac{\pi}{2} x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象（ ）
$\text{A.}$ 向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度
$\text{B.}$ 向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度
$\text{C.}$ 向左平移 1 个单位长度
$\text{D.}$ 向右平移 1 个单位长度
要得到函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象，只需将函数 $y=\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)$ 的图象（ ）
$\text{A.}$ 向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位
$\text{B.}$ 向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位
$\text{C.}$ 向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位
$\text{D.}$ 向右平栘 $\frac{\pi}{8}$ 个单位
为得到函数 $y=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，只需将函数 $y=-\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 图象上所有的点（ ）
$\text{A.}$ 向左平移 $\frac{7 \pi}{12}$ 个单位长度
$\text{B.}$ 向右平移 $\frac{7 \pi}{12}$ 个单位长度
$\text{C.}$ 向左平移 $\frac{7 \pi}{24}$ 个单位长度
$\text{D.}$ 向右平移 $\frac{7 \pi}{24}$ 个单位长度
已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ ，为了得到函数 $g(x)=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象只需将 $y=f(x)$ 的图象（ ）
$\text{A.}$ 向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位
$\text{B.}$ 向右平移 $\frac{5 \pi}{6}$ 个单位
$\text{C.}$ 向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位
$\text{D.}$ 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位
已知函数 $f(x)=\sin \left(2021 x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(2021 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的最大值为 $M$ ，若存在实数 $m, n$ ，使得对任意实数 $x$ ，总有 $f(m) \leq f(x) \leq f(n)$ 成立，则 $M \cdot|m-n|$ 的最小值为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2021}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi}{2021}$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{2021}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4042}$
已知把函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos x-\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 $g(x)$ 的图象，若 $g\left(x_1\right) \cdot g\left(x_2\right)=\frac{1}{4}$ ，若 $x_1, x_2 \in[-\pi, \pi]$ ，则 $x_1-x_2$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \pi}{2}$
$\text{D.}$ $2 \pi$
将函数 $f(x)=3 \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，然后再把所得的图象向下平移 1 个单位长度，得到函数 $g(x)$ 的图象，若 $g\left(x_1\right) g\left(x_2\right)=16$ ，且 $x_1, x_2 \in[-2 \pi, 2 \pi]$ ，则 $2 x_1-x_2$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{13}{3} \pi$
$\text{B.}$ $\frac{10}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{5}{2} \pi$
$\text{D.}$ $\frac{25}{6} \pi$
将函数 $f(x)=2 \sin \pi x-1$ 的图象向左平移 $\varphi\left(0 < \varphi < \frac{1}{2}\right)$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象，若使 $|f(a)-g(b)|=4$ 成立的 $a, ~ b$ 有 $|a-b|_{\text {min }}=\frac{3}{4}$ ，则下列直线中可以是函数 $y=g(x)$ 图象的对称轴的是
$\text{A.}$ $x=-\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $x=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $x=\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $x=\frac{5}{4}$
已知函数 $f(x)=2 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)-1(\omega>0)$ 的两条相邻对称轴之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ，则下列点的坐标为 $f(x)$ 的对称中心的是
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{12},-1\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\pi}{12}, 0\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{\pi}{12},-1\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{\pi}{12}, 0\right)$
函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,0 < \varphi < \pi)$ ，其图象的一个最低点是 $P\left(\frac{\pi}{6},-2\right)$ ，距离 $P$ 点最近的对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ ，则
$\text{A.}$ $\omega=3$
$\text{B.}$ $x=\frac{13 \pi}{12}$ 是函数 $f(x)$ 图象的一条对称轴
$\text{C.}$ $x \in\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 时，函数 $f(x)$ 单调递增
$\text{D.}$ $f(x)$ 的图象向右平移 $\phi(\phi>0)$ 个单位后得到 $g(x)$ 的图象，若 $g(x)$ 是奇函数，则 $\phi$ 的最小值是 $\frac{\pi}{6}$
将函数 $f(x)=\sin \omega x \cos \omega x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再将纵坐标伸长为原来的 4 倍（横坐标不变）得到函数 $g(x)$ 的图象，且 $g(x)$ 的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为 $\frac{\pi}{4}$ ，对于函数 $g(x)$ 有以下几个结论：
（1）$\omega=2$ ；
（2）它的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{12}$ 对称；
（3）它的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 对称；
（4）若 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，则 $g(x) \in[-\sqrt{3}, 2]$ ；
则上述结论正确的个数为（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
将函数 $y=\tan \left(\omega x-\frac{\pi}{2}\right)(\omega>0)$ 的图象分别向左，向右各平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则 $\omega$ 的最小值为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 6
已知 $f(x)=\sin x-\sqrt{3} \cos x$ 的一个对称中心为 $(\theta, 0)$ ，把 $f(x)$ 的图像向右平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位后，可以得到偶函数 $y=g(x)$ 的图象，则 $|\theta-\varphi|$ 的最小值为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{6}$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=\sin x+2 \cos x$ 的图象向右平移 $\varphi$ 个单位长度得到 $g(x)=2 \sin x+\cos x$ 的图象，若 $x=\varphi$ 为 $h(x)=\sin x+a \cos x$ 的一条对称轴，则 $a=$