将函数 $f(x)=\sin \omega x \cos \omega x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再将纵坐标伸长为原来的 4 倍（横坐标不变）得到函数 $g(x)$ 的图象，且 $g(x)$ 的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为 $\frac{\pi}{4}$ ，对于函数 $g(x)$ 有以下几个结论：
（1）$\omega=2$ ；
（2）它的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{12}$ 对称；
（3）它的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 对称；
（4）若 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，则 $g(x) \in[-\sqrt{3}, 2]$ ；
则上述结论正确的个数为（ ）