判断题 （共 7 题 ）
设 $A, B$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵, 若 $E-A B$ 可逆, 则 $E-B A$ 也可逆, 其中 $E$ 为单位阵.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称阵, 则 $A$ 为半正定矩阵的充要必要条件是 $A$ 的所有主子式都不小于零.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0$ 为整系数多项式, $a_n \neq 0$, 若有理数 $\frac{q}{p}$ 是 $f(x)$ 的根, 则必有 $p \mid a_0$, 且 $q \mid a_n$, 其中 $p, q$ 为互素的整数.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ 都是线性空间 $V$ 的子空间, $s \geq 3$, 则 $V=V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s$ 的充分必要条件是 $V=\sum_{i=1}^s V_i$ 且 $\operatorname{dim} V=\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} V_i$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, 则存在 $V$ 的真子空间 $V_1, V_2, \cdots, V_s$ ( $s$ 为正整数), 使得 $V=V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_s$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A(\lambda), B(\lambda)$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵, 则 $A(\lambda), B(\lambda)$ 等价的充分必要条件为 $A(\lambda), B(\lambda)$ 有相同的初等因子组.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性变换, 则 $\sigma$ 是正交变换的充分必要条件是对任意的 $\alpha, \beta \in V$, 有 $\langle\alpha, \beta\rangle=\langle\sigma(\alpha), \sigma(\beta)\rangle$, 其中 $\langle\alpha, \beta\rangle$ 表示 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶可逆实矩阵, $n \geq 3$ 且 $n$ 为奇数, $A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 在行列式 $|A|$ 中的代数余子式, 若 $A_{i j}=2 a_{i j}, i, j=1,2, \cdots, n$, 则行列式 $|A|=$
多项式 $f(x)=2 x^4-3 x^3+2 x^2-1$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的标准分解式为
设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right)$, 则 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $\varepsilon_2+\varepsilon_3, \varepsilon_3$ 下的矩阵为
设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基, $\alpha_1, \alpha_2 \in V$, 已知 $\left(\varepsilon_1, \alpha_1\right)=1,\left(\varepsilon_1, \alpha_2\right)=-1,\left(\varepsilon_2, \alpha_1\right)=2$, $\left(\varepsilon_2, \alpha_2\right)=1$, 则向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 的夹角为
设矩阵 $A$ 的初等因子组为 $\lambda^2,(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2, \lambda+1,(\lambda+1)^3$, 则 $A$ 的最小多项式为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
2 a & a^2 & & & & \\
1 & 2 a & a^2 & & & \\
& 1 & 2 a & a^2 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & 1 & 2 a & a^2 \\
& & & & 1 & 2 a
\end{array}\right| \text {, 其中 } a \neq 0 .
$$
已知非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x_1+x_2+3 x_3-3 x_4=1 ; \\
4 x_1+3 x_2+5 x_3-x_4=b ; \\
a x_1+x_2+x_3+x_4=-1 .
\end{array}\right.
$$
有 3 个线性无关的解, 求参数 $a, b$ 的值与方程组的通解.
设数域 $P$ 上多项式 $f(x)=x^5+x^4+2 x^2+1, g(x)=x^4-x^2+2 x-1$, 求 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首 1 最大公因式 $(f(x), g(x))$, 以及多项式 $u(x), v(x)$, 使得 $u(x) f(x)+v(x) g(x)=(f(x), g(x))$.
设复矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right)$, 求 $A$ 的 Jordan 标准形.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(x_1 x_2-x_1 x_3+x_2 x_3\right)$.
(1) 求正交变换 $X=Q Y$, 将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准型, 并写出相应的标准型.
(2) 在直角坐标系 $O_{x y z}$ 中, 二次曲面 $\Sigma$ 的方程为 $x y-x z+y z=\frac{1}{2}$, 试建立新直角坐标系 $O_{x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}}$, 将其化为标准方程, 并要求给出新坐标轴正向单位向量在原坐标系下的坐标.
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换, $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间, 证明: $W$ 的正交补 $W^{\perp}$ 也是 $\sigma$ 的不变子空间.
若矩阵 $B$ 满足 $B^2=B$, 则称 $B$ 为幂等阵.
(1) 设 $B$ 是 $n$ 阶幂等阵, 证明: $r(B)+r(E-B)=n$, 其中 $r(B)$ 表示 $B$ 的秩, $E$ 为单位阵;
(2) 设 $B_1, B_2$ 都是 $n$ 阶幂等阵, $A=B_1 B_2$, 且 $r(A) < n$, 证明: $r(E-A) \leq 2 n-r\left(B_1\right)-r\left(B_2\right)$.
设 $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正定矩阵, 证明:
(1) $n$ 元二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & x_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & x_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & x_n \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 0
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
A & X \\
X^T & 0
\end{array}\right|
$$
是负定的, 其中 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T$;
(2) $|A| \leq a_{n n} \Delta_{n-1}$, 其中
$$
\Delta_{n-1}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
$$
为 $A$ 的 $n-1$ 级顺序主子式.