设 $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正定矩阵, 证明:
(1) $n$ 元二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & x_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & x_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & x_n \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 0
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
A & X \\
X^T & 0
\end{array}\right|
$$
是负定的, 其中 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T$;
(2) $|A| \leq a_{n n} \Delta_{n-1}$, 其中
$$
\Delta_{n-1}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
$$
为 $A$ 的 $n-1$ 级顺序主子式.