单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
$(1-3 \mathrm{i})^2=(\quad)$
$\text{A.}$ $-8+6 i$
$\text{B.}$ $-8-6 \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $8+6 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $8-6 \mathrm{i}$
已知集合 $A=\{0,1,3,6,9\}, B=\{x \mid \sqrt{x}=x\}$ ，则 $A \cap B=()$
$\text{A.}$ $\{0,1\}$
$\text{B.}$ $\{3,6\}$
$\text{C.}$ $\{0,1,9\}$
$\text{D.}$ $\{0,3,9\}$
已知 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1,|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$ ，则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{-1}{2}$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 过点 $(1,0)$ 和 $\left(\frac{\sqrt{7}}{2}, 3\right)$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为
$\text{A.}$ $y= \pm 3 \sqrt{2} x$
$\text{B.}$ $y= \pm 2 \sqrt{3} x$
$\text{C.}$ $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{6} x$
$\text{D.}$ $y= \pm \frac{\sqrt{2}}{6} x$
已知棱台的上下底面均为有个角为 $60^{\circ}$ 的菱形，上下底面边长分别为 2 和 3 ，高为 3 ，则该棱台的体积为（）
$\text{A.}$ $\frac{19}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{19}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{19}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{19}{2}$
甲、乙、丙、丁等 8 人分成 $A, B$ 两个技术小组，要求每组 4 人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，则共有分配方案（ ）
$\text{A.}$ 10 种
$\text{B.}$ 12 种
$\text{C.}$ 16 种
$\text{D.}$ 24 种
已知 $\alpha$ 为第二象限角， $3 \sin 2 \alpha \cos \alpha=8 \sin \alpha \cos 2 \alpha$ ，则 $\frac{1+\sin \alpha}{2-\cos \alpha}=(\quad)$
$\text{A.}$ ${ }_4^3$
$\text{B.}$ ${ }_5^3$
$\text{C.}$ ${ }_2^1$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，$f(x)+f(x-2)=0$ ，且当 $x \in\left[\frac{3}{2}, 3\right]$ 时，$f(x)=x^2+a x+b$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $a=-2, b=-3$
$\text{B.}$ $a=-2, b=3$
$\text{C.}$ $a=-4, b=-3$
$\text{D.}$ $a=-4, b=3$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知 $\odot O: x^2+y^2=1, \odot A: x^2+y^2-6 x-8 y+k=0$ ，则（ ）
$\text{A.}$ 点 $A$ 的坐标为 $(-3,-4)$
$\text{B.}$ 当 $k=9$ 时，$\odot A$ 与 $x$ 轴相切
$\text{C.}$ 当 $k=-11$ 时，$\odot A$ 与 $\odot O$ 相切
$\text{D.}$ 当 $\odot O$ 与 $\odot A$ 相交时，两个交点所在的直线方程为 $6 x+8 y-k-2=0$
等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比 $q \neq 1, a_1>0$ ，且满足 $2 a_3=a_1+a_2$ ，记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则
$\text{A.}$ $q=-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $S_n>\frac{2 a_1}{3}$
$\text{C.}$ $2 S_{n+2}=S_{n+1}+S_n$
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^n S_k>\frac{2 n a_1}{3}$
$E: y^2=8 x$ ，斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 过点 $(-1,0), \triangle A B C$ 为等边三角形，$A$ 在 $y^2=8 x$ 上，$B, C$ 在 $l$ 上。
$\text{A.}$ 抛物线准线方程为 $x=-2$
$\text{B.}$ $l$ 与 $y^2=8 x$ 无交点时 $k>\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $l$ 与 $E$ 相交于唯一点 $B$ ，则抛物线焦点在直线 $A B$ 上
$\text{D.}$ $k=2$ 时，$\triangle A B C$ 面积最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{15}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_1=-1, a_4=5$ ，则 $S_6=$
若函数 $f(x)=2^x+2^{2-x}-m$ 有两个零点，则 $m$ 的取值范围为
若球 $O$ 的体积为 $4 \sqrt{3}, A, B, C, D$ 四点均在球 $O$ 的球而上，$\triangle A B C$ 为等边三角形，$D A =D B=D C=2$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制成如下的频率分布直方图．
（1）求第一四分位数和中位数；
（2）$\hat{p}$ 为首次故障时间小于 365 天的概率估计值．
（i）求 $\hat{p}$ ；
（ii）工厂向某用户销售 100 件电子元件，$X$ 为这 100 件产品首次出现故障小于 365 天的件数，
则 $X \sim B(100, \hat{p})$ ，求 $E(X), D(X)$ ．
如图，在三棱锥 $A-B C D$ 中，$E$ 在 $B D$ 上，$A E \perp C E, A E \perp D E, C D \perp A D$ ．
（1）证明：$C D \perp A B$ ；
（2）若 $D E=2, B E=1, A E=\sqrt{2}, C D=2 \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 与平面 $A B C$ 所成角的企弦值
在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\cos B=\frac{3}{4}, \cos ^2(A+C)+\sin A \sin C=1$ ．
（1）证明：$\triangle A B C$ 为钝角三角形；
（2）若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．
已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$ 的右焦点为 $F_1$ ，过 $F_1$ 且 $x$ 轴垂直的直线被 $E$ 所截线段长为 $\sqrt{2}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的离心率；
（2）设 $O$ 为坐标原点，给定点 $G\left(t_0, 0\right)\left(t_0 \neq 0\right) ; A\left(x_0, y_0\right)\left(y_0 \neq 0\right)$ 在椭圆 $E$ 上，过 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $B, A O$ 与和 $G B$ 交于一点 $P$ ．当 $A$ 在椭圆 $E$ 上运动时，$P$ 点轨迹为 $M$ ．
（i）求轨迹 $M$ 的方程；
（ii）当 $t_0$ 取何值时，轨迹 $M$ 有对称中心点？当轨迹 $M$ 有中心点时，将轨迹 $M$ 平移到轨迹 $M^{\prime}$ ，使 $O (0,0)$ 为其对称中心点，试说明 $M^{\prime}$ 是什么形状？
已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^x+a x+b$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y=-2 x+1$ ．
（1）求 $a, b$ ；
（2）当 $x>0$ 时，$f(x+m)-f(x)>m$ ，求 $m$ 的取值范围；
（3）当 $x>0$ 时，$f(k+x)+f(k-x)>2 f(k)$ ，求 $k$ 的最小值．