已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$ 的右焦点为 $F_1$ ，过 $F_1$ 且 $x$ 轴垂直的直线被 $E$ 所截线段长为 $\sqrt{2}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的离心率；
（2）设 $O$ 为坐标原点，给定点 $G\left(t_0, 0\right)\left(t_0 \neq 0\right) ; A\left(x_0, y_0\right)\left(y_0 \neq 0\right)$ 在椭圆 $E$ 上，过 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $B, A O$ 与和 $G B$ 交于一点 $P$ ．当 $A$ 在椭圆 $E$ 上运动时，$P$ 点轨迹为 $M$ ．
（i）求轨迹 $M$ 的方程；
（ii）当 $t_0$ 取何值时，轨迹 $M$ 有对称中心点？当轨迹 $M$ 有中心点时，将轨迹 $M$ 平移到轨迹 $M^{\prime}$ ，使 $O (0,0)$ 为其对称中心点，试说明 $M^{\prime}$ 是什么形状？