单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形＂旋转舱＂，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ 旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
$\text{B.}$ 旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
$\text{C.}$ 宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
$\text{D.}$ 宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
如图所示，甲、乙两个质量相同的小球（视为质点）用等长轻质细线 1、2 连接，悬挂在天花板上的 $O$ 点，两球在各自的水平面内做匀速圆周运动，并处于相对静止状态，细线与坚直方向的夹角分别为 $\beta 、 \theta$（ $\theta 、 \beta$ 非常小，可以取 $\tan \theta=\sin \theta=\theta$ ， $\tan \beta=\sin \beta=\beta$ ）。则
$\text{A.}$ $\theta=\beta$
$\text{B.}$ 甲、乙两球的动量之比为 $1: 2$
$\text{C.}$ 甲、乙两球的向心力之比为 $1: 2$
$\text{D.}$ 细线 $1 、 2$ 拉力的坚直分力之比为 $1: 2$
如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以 $O$ 为圆心、 $R_1$ 和 $R_2$ 为半径的同心圆上，圆心处装有坚直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用 $h_1 、 v_1 、 \omega_1$ 和 $h_2 、 v_2 、 \omega_2$ 表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $h_1=h_2$ ，则 $v_1: v_2=R_2: R_1$
$\text{B.}$ 若 $v_1=v_2$ ，则 $h_1: h_2=R_2^2: R_1^2$
$\text{C.}$ 若 $\omega_1=\omega_2, v_1=v_2$ ，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
$\text{D.}$ 若 $h_1=h_2$ ，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则 $\omega_1=\omega_2$
如图所示，物体 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 用细线连接，在同一高度做匀速圆周运动，圆心均为点 $O$ 。在某时刻，细线同时断裂，两物体做平抛运动，同时落在水平面上的同一点。连接 A 、 B 的细线长度分别为 $10 l 、 5 l, \mathrm{~A} 、 \mathrm{~B}$ 圆周运动的半径分别为 $6 l 、 4 l$ ，则 $O$ 点到水平面的高度为（忽略物体的大小和细线质量）
$\text{A.}$ $6 l$
$\text{B.}$ $10 l$
$\text{C.}$ $12 l$
$\text{D.}$ $15 l$
多选题 （共 6 题 ），每题有多个选项正确
公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为 $v_c$ 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．在该弯道处
$\text{A.}$ 路面外侧高内侧低
$\text{B.}$ 车速只要低于 $v_c$ ，车辆便会向内侧滑动
$\text{C.}$ 车速虽然高于 $v_c$ ，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
$\text{D.}$ 当路面结冰时，与未结冰时相比，$v_c$ 的值变小
如图，叠放在水平转台上的物体 $A 、 B 、 C$ 能随转台一起以角速度 $\omega$ 匀速转动，$A 、 B 、 C$ 的质量分别为 $3 m 、 2 m 、 m, A$ 与 $B 、 B$ 和 $C$ 与转台间的动摩擦因数都为 $\mu, A$ 和 $B 、 C$ 离转台中心的距离分别为 $r 、 1.5 r$ ．设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ $B$ 对 $A$ 的摩擦力一定为 $3 \mu \mathrm{mg}$
$\text{B.}$ $B$ 对 $A$ 的摩擦力一定为 $3 m \omega^2 r$
$\text{C.}$ 转台的角速度一定满足 $\omega \leqslant \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$
$\text{D.}$ 转台的角速度一定满足 $\omega \leqslant \sqrt{\frac{2 \mu g}{3 r}}$
质量为 $m$ 的小球由轻绳 $a$ 和 $b$ 分别系于一轻质细杆的 $A$ 点和 $B$ 点，如图所示，绳 $a$ 与水平方向成 $\theta$ 角，绳 $b$ 在水平方向且长为 $l$ ，当轻杆绕轴 $A B$ 以角速度 $\omega$ 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $a$ 绳的张力不可能为零
$\text{B.}$ $a$ 绳的张力随角速度的增大而增大
$\text{C.}$ 当角速度 $\omega>\sqrt{\frac{g \cot \theta}{l}}, b$ 绳将出现弹力
$\text{D.}$ 若 $b$ 绳突然被剪断，则 $a$ 绳的弹力一定发生变化
如图所示为赛车场的一个水平＂梨形＂赛道，两个弯道分别为半径 $R=90 \mathrm{~m}$ 的大圆弧和 $r=40 \mathrm{~m}$ 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心 $O 、 O^{\prime}$ 距离 $L=100 \mathrm{~m}$ ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的 2.25 倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度 $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2, \pi=3.14$ ），则赛车
$\text{A.}$ 在绕过小圆弧弯道后加速
$\text{B.}$ 在大圆弧弯道上的速率为 $45 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{C.}$ 在直道上的加速度大小为 $5.63 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$
$\text{D.}$ 通过小圆弧弯道的时间为 5.58 s
如图（a）所示，$A 、 B$ 为钉在光滑水平面上的两根铁钉，质量为 0.6 kg 的小球 $C$（小球可视为质点）用细绳拴在铁钉 B 上， $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 在同一直线上，$t=0$ 时，给小球一垂直于绳、大小为 $2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度，使小球在水平面上做圆周运动。在 $0 \leq t \leq t_2$ 时间内，细绳的拉力大小随时间变化的规律如图（b）所示，若细绳能承受的最大拉力为 6.4 N 。则下列说法正确的是
$2.0 \pi \mathrm{~s}$
$\text{A.}$ $t_2=0.5 \pi \mathrm{~s}$
$\text{B.}$ 两钉子间的距离为 0.2 m
$\text{C.}$ 当 $t=1.2 \pi \mathrm{~S}$ 时，细绳承受的拉力大小为 3 N
$\text{D.}$ 小球从开始运动到绳被拉断历时
如图所示，水平转盘上沿半径方向放着用细线相连的物体 A 和 B ，细线刚好拉直， A 和 B 质量都为 $m$ ，它们位于圆心两侧，与圆心距离分别为 $r 、 2 r, \mathrm{~A} 、 \mathrm{~B}$ 与盘间的动摩擦因数 $\mu$ 相同。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘从静止开始缓慢加速到两物体恰要与圆盘发生相对滑动的过程中，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 绳子的最大张力为 $T=2 \mu \mathrm{mg}$
$\text{B.}$ A 与转盘的摩擦力先增大后减小
$\text{C.}$ B 与转盘的摩擦力先达到最大静摩擦力且之后保持不变
$\text{D.}$ 开始转动时两物块均由指向圆心的静摩擦力提供向心力，绳子无拉力
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图所示，$M$ 是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的坚直轴 $O O^{\prime}$ 匀速转动，规定经过圆心 $O$ 点且水平向右为 $x$ 轴正方向。在 $O$ 点正上方距盘面高为 $h=5 \mathrm{~m}$处有一个可间断滴水的容器，从 $t=0$ 时刻开始，容器沿水平轨道向 $x$ 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．已知 $t=0$ 时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水。（取 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ）
（1）每一滴水离开容器后经过多长时间滴落到盘面上？
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度 $\omega$ 应为多大？
（3）当圆盘的角速度为 $1.5 \pi$ 时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离为 2 m ，求容器的加速度 $a$ ．
如图 1 所示，水平圆盘上质量 $m_{\mathrm{A}}=4 m$ 与 $m_{\mathrm{B}}=m$ 的 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两个物块，用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心。 AB 一起随圆盘绕坚直中心轴 $O O^{\prime}$ 转动，转动角速度 $\omega$ 从零开始缓慢增大，直到有物块相对圆盘运动为止。 A 、 B 两物块转动半径 $r_{\mathrm{A}}=r$ ， $r_{\mathrm{B}}=2 r$ 。两物块与圆盘间的动摩擦因数均为 $\mu$ ，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 $g$ 。
（1）若先将轻绳去掉，将 $A 、 B$ 两物块先后单独放到如图所示位置，分别求出 $A 、 B$ 相对圆盘静止时圆盘转动的最大角速度？若将 $A$ 、 $B$ 两物块同时放到图所示位置（无轻绳），逐渐增大圆盘转动角速度，哪个物块先滑动？
（2）在 $A 、 B$ 两物块间加上轻绳，如 1 所示，随着圆盘转动角速度逐渐增大，绳上的力从无到有，使得物块相对圆盘保持静止的时间延长。求当角速度 $\omega_1$ 为多大时， A 受到的静摩擦力达到最大值？
（3）求当角速度继续增大至 $\omega_2=\sqrt{\frac{2 \mu g}{r}}$ 时， B 受到的静摩擦力的大小？
（4）当角速度继续增大至 $\omega_3$ 时，$A B$ 物块组成的系统相对圆盘开始滑动，求 $\omega_3$ 的大小？并将物块 $B$ 受到的摩擦力 $f_B$ 与 $\omega^2$ 的分段函数关系图像画在图 2 中（取指向转轴的方向为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的横纵坐标值）。
如图所示，$A B$ 为坚直光滑圆弧的直径，其半径 $R=0.9 \mathrm{~m}, A$ 端沿水平方向。水平轨道 $B C$ 与半径 $r=0.5 \mathrm{~m}$ 的光滑圆弧轨道 $C D E$ 相接于 $C, D$ 为圆轨道的最低点，圆弧轨道 $C D$ ， $D E$ 对应的圆心角 $\theta=37^{\circ}$ 。圆弧和倾斜传送带 $E F$ 相切于 $E$ 点，$E F$ 的长度为 $l=24 \mathrm{~m}$ 。一质量为 $m=1 \mathrm{~kg}$ 的物块（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上坚直圆轨道，并从 $A$ 点飞出，经过 $C$ 点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过 $E$ 点，随后物块滑上传送带 $E F$ 。已知物块经过 $E$ 点时速度大小与经过 $C$ 点时速度大小相等，已知传送带以 $v=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度向上转动，且物块与传送带 $E F$ 间的动摩擦因数 $\mu=0.5, g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ， $\sin 37^{\circ}=0.6, \cos 37^{\circ}=0.8$ 。求：
（1）物块从 $A$ 点飞出的速度大小 $v_0$ 和在 $A$ 点受到的支持力大小 $F_{\mathrm{N} A}$（结果保留两位有效数字）；
（2）物块到达 $C$ 点时的速度大小 $v_C$ 及对 $C$ 点的压力大小 $F_{N C}$ ；
（3）试通过计算判定物块能否被送到 $F$ 端。
