如图 1 所示，水平圆盘上质量 $m_{\mathrm{A}}=4 m$ 与 $m_{\mathrm{B}}=m$ 的 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两个物块，用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心。 AB 一起随圆盘绕坚直中心轴 $O O^{\prime}$ 转动，转动角速度 $\omega$ 从零开始缓慢增大，直到有物块相对圆盘运动为止。 A 、 B 两物块转动半径 $r_{\mathrm{A}}=r$ ， $r_{\mathrm{B}}=2 r$ 。两物块与圆盘间的动摩擦因数均为 $\mu$ ，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 $g$ 。
（1）若先将轻绳去掉，将 $A 、 B$ 两物块先后单独放到如图所示位置，分别求出 $A 、 B$ 相对圆盘静止时圆盘转动的最大角速度？若将 $A$ 、 $B$ 两物块同时放到图所示位置（无轻绳），逐渐增大圆盘转动角速度，哪个物块先滑动？
（2）在 $A 、 B$ 两物块间加上轻绳，如 1 所示，随着圆盘转动角速度逐渐增大，绳上的力从无到有，使得物块相对圆盘保持静止的时间延长。求当角速度 $\omega_1$ 为多大时， A 受到的静摩擦力达到最大值？
（3）求当角速度继续增大至 $\omega_2=\sqrt{\frac{2 \mu g}{r}}$ 时， B 受到的静摩擦力的大小？
（4）当角速度继续增大至 $\omega_3$ 时，$A B$ 物块组成的系统相对圆盘开始滑动，求 $\omega_3$ 的大小？并将物块 $B$ 受到的摩擦力 $f_B$ 与 $\omega^2$ 的分段函数关系图像画在图 2 中（取指向转轴的方向为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的横纵坐标值）。