【39896】 【 平面向量的数量积】 填空题 已知平面上三点 $A 、 B 、 C$ 满足 $|\overrightarrow{A B}|=3,|\overrightarrow{B C}|=4,|\overrightarrow{C A}|=5$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{A B}$的值等于

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【39895】 【 平面向量的数量积】 填空题 设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=3$ ，则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=$

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【39894】 【 平面向量的数量积】 单选题 正方形 $A B C D$ 的边长是 $2, E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}=()$

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【39893】 【 平面向量的数量积】 单选题 设向量 $\vec{a}=(-1,2), \vec{b}=(2,-1)$ ，则 $(\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a}+\vec{b})$ 等于

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【39892】 【 《同济大学》高数辅导-高斯公式】 证明题 设函数 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，证明： $$ \operatorname{div}(u \operatorname{grad} v)=\operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v+u \operatorname{div}(\operatorname{grad} v), $$ 即 $$ \vec{\nabla} \cdot(u \vec{\nabla} v)=\vec{\nabla} u \cdot \vec{\nabla} v+u \vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} v) . $$

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【39891】 【 《同济大学》高数辅导-高斯公式】 解答题 设向量场 $\vec{A}=x^2 \vec{i}+y^2 \vec{j}+z^2 \vec{k}$ ，穿过球面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2$ 位于第一卦限的那部分，流向凸的一侧，求流量．

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【39890】 【 《同济大学》高数辅导-高斯公式】 解答题 求下列向量场 $\vec{A}=\left(x^2+y z\right) \vec{i}+\left(y^2+x z\right) \vec{j}+\left(z^2+x y\right) \vec{k}$ 的散度．

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【39889】 【 《同济大学》高数辅导-高斯公式】 解答题 计算 $\oint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\Sigma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 取外侧．

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【39888】 【 《同济大学》高数辅导-高斯公式】 解答题 设 $f(u)$ 有连续导数，计算 $\oint_{\Sigma} x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left[\frac{1}{z} f\left(\frac{y}{z}\right)+y^3\right] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left[\frac{1}{y} f\left(\frac{y}{z}\right)+z^3\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $\Sigma$ 是 $x^2+y^2+z^2=1, x^2+y^2+z^2=4$ 与 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 所围成立体表面的外侧．

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【39887】 【 《同济大学》高数辅导-高斯公式】 解答题 $\iint_{\Sigma}\left(x^3+y^2\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^3+z^2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+2\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为 $z=x^2+y^2-1(z \leq 0)$ 的上侧；

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