设函数 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，证明：

$$
\operatorname{div}(u \operatorname{grad} v)=\operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v+u \operatorname{div}(\operatorname{grad} v),
$$
即
$$
\vec{\nabla} \cdot(u \vec{\nabla} v)=\vec{\nabla} u \cdot \vec{\nabla} v+u \vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} v) .
$$