解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\iint_{\Sigma}\left(x y-\mathrm{e}^{y^2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z-z^3\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq h)$ 的下侧
$\iint_{\Sigma}\left(x^3+y^2\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^3+z^2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+2\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为 $z=x^2+y^2-1(z \leq 0)$ 的上侧；
设 $f(u)$ 有连续导数，计算 $\oint_{\Sigma} x^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left[\frac{1}{z} f\left(\frac{y}{z}\right)+y^3\right] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left[\frac{1}{y} f\left(\frac{y}{z}\right)+z^3\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
其中 $\Sigma$ 是 $x^2+y^2+z^2=1, x^2+y^2+z^2=4$ 与 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 所围成立体表面的外侧．
计算 $\oint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\Sigma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 取外侧．
求下列向量场 $\vec{A}=\left(x^2+y z\right) \vec{i}+\left(y^2+x z\right) \vec{j}+\left(z^2+x y\right) \vec{k}$ 的散度．
设向量场 $\vec{A}=x^2 \vec{i}+y^2 \vec{j}+z^2 \vec{k}$ ，穿过球面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2$ 位于第一卦限的那部分，流向凸的一侧，求流量．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $u(x, y, z), v(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，证明：
$$
\operatorname{div}(u \operatorname{grad} v)=\operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v+u \operatorname{div}(\operatorname{grad} v),
$$
即
$$
\vec{\nabla} \cdot(u \vec{\nabla} v)=\vec{\nabla} u \cdot \vec{\nabla} v+u \vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} v) .
$$